giải giúp tui bài này đc hok

Để giải bài toán này, trước tiên, ta cần nhận diện cấu trúc của các số hạng trong dãy số.

Các số hạng có dạng tổng quát là

\(\frac{n^2 - 1}{n^2}\), với \(n \in \mathbb{N}, n > 1\).

Ta có thể viết lại số hạng này như sau:

\[
\frac{n^2 - 1}{n^2} = 1 - \frac{1}{n^2}.
\]

Do đó, tổng các số hạng từ \(n = 2\) đến một giá trị \(N\) nào đó sẽ trở thành:

\[
S = \sum_{n=2}^{N} \left( 1 - \frac{1}{n^2} \right).
\]

Ta tách tổng này ra thành hai phần:

\[
S = \sum_{n=2}^{N} 1 - \sum_{n=2}^{N} \frac{1}{n^2}.
\]

Phần đầu tiên là tổng số hạng 1 từ \(n = 2\) đến \(N\), tức là có \(N - 1\) số hạng (vì bắt đầu từ 2):

\[
\sum_{n=2}^{N} 1 = N - 1.
\]

Phần thứ hai là tổng của chuỗi nghịch đảo bình phương số tự nhiên từ 2 đến \(N\):

\[
\sum_{n=2}^{N} \frac{1}{n^2}.
\]

Giá trị của tổng này có thể xấp xỉ bằng \(\frac{\pi^2}{6} - 1\) khi \(N\) đủ lớn, vì tổng của nó đến vô cùng là \(\frac{\pi^2}{6}\).

Vậy tổng \(S\) sẽ gần bằng:

\[
S \approx (N - 1) - \left(\frac{\pi^2}{6} - 1\right) = N - 1 - \frac{\pi^2}{6} + 1 = N - \frac{\pi^2}{6}.
\]

Khi \(N\) tiến đến vô cùng, tổng này sẽ không có giới hạn cố định mà sẽ lớn hơn mọi hằng số.

Do đó, không có một giá trị cố định cho \(S\), mà nó phụ thuộc vào \(N\) và tăng theo \(N\).

Kết luận:

Tóm lại, tổng \(S\) có thể được sơ bộ mô tả như sau:

\[
S = N - \sum_{n=2}^{N} \frac{1}{n^2} \text{ và khi } N \to \infty, S \text{ cũng đi đến }\infty.
\]