2/√3+1 - 1/√3-2 + 6/√3+3 trục căn thức ở mẫu

Để giải bài toán:

\[
\frac{2}{\sqrt{3} + 1} - \frac{1}{\sqrt{3} - 2} + \frac{6}{\sqrt{3} + 3}
\]

ta sẽ tiến hành nhân cả tử và mẫu với phần liên hợp của mẫu để loại bỏ căn thức trong mẫu.

Bước 1: Rút gọn từng phần.

Phần 1: \(\frac{2}{\sqrt{3} + 1}\)

Nhân cả tử và mẫu với liên hợp là \((\sqrt{3} - 1)\):

\[
\frac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{2} = \sqrt{3} - 1
\]

Phần 2: \(\frac{1}{\sqrt{3} - 2}\)

Nhân cả tử và mẫu với liên hợp là \((\sqrt{3} + 2)\):

\[
\frac{1(\sqrt{3} + 2)}{(\sqrt{3} - 2)(\sqrt{3} + 2)} = \frac{(\sqrt{3} + 2)}{3 - 4} = -(\sqrt{3} + 2)
\]

Phần 3: \(\frac{6}{\sqrt{3} + 3}\)

Nhân cả tử và mẫu với liên hợp là \((\sqrt{3} - 3)\):

\[
\frac{6(\sqrt{3} - 3)}{(\sqrt{3} + 3)(\sqrt{3} - 3)} = \frac{6(\sqrt{3} - 3)}{3 - 9} = \frac{6(\sqrt{3} - 3)}{-6} = -(\sqrt{3} - 3) = -\sqrt{3} + 3
\]

Bước 2: Thay các phần đã rút gọn vào biểu thức ban đầu:

\[
(\sqrt{3} - 1) - (\sqrt{3} + 2) + (-\sqrt{3} + 3)
\]

Bước 3: Thực hiện phép cộng:

\[
= (\sqrt{3} - 1) - \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} + 3
\]

Gom nhóm lại:

\[
= \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} + (-1 - 2 + 3)
\]
\[
= -\sqrt{3} + 0
\]

Kết quả cuối cùng là:

\[
= -\sqrt{3}
\]

Do đó, giá trị của biểu thức trên là \(-\sqrt{3}\).