Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB. Vẽ hai tiếp tuyến Ax, By về cùng một phía với nửa đường tròn. Lấy điểm M bất kì trên nửa đường tròn (O), tiếp tuyến tại M của (O) cắt Ax, By lần lượt tại C và D. a) Chứng

a) Để chứng minh bốn điểm A, C, M, O cùng thuộc cùng một đường tròn, ta sẽ sử dụng định lý về góc nội tiếp.

Theo giả thiết, ta có đường tròn (O; R) với đường kính AB, nên AO = OB = R. Xét điểm M là điểm bất kỳ trên nửa đường tròn, có nghĩa là góc AMO (M nằm trên cung lớn AB) sẽ bằng góc ACB (góc tạo bởi tiếp tuyến Ax tại điểm A và đoạn thẳng AC). Theo định lý về góc nội tiếp, ta có:

Góc ACB = góc AMO, từ đó ta có A, C, M, O có mối quan hệ mà cùng nằm trên một đường tròn.

b) Để chứng minh AC + BD = CD và (OC. OD) / CD = R, ta chú ý đến các tiếp tuyến và đoạn thẳng.

Từ định nghĩa của các tiếp tuyến, ta có:
- AC là độ dài từ A đến C (tiếp tuyến Ax cắt tiếp tuyến tại M).
- BD là độ dài từ B đến D (tiếp tuyến By cắt tiếp tuyến tại M).
- CD là đoạn thẳng nối C và D.

Theo định lý tiếp tuyến từ một điểm đến đường tròn, ta có:
- AC = AO (tiếp tuyến) và BD = BO (tiếp tuyến).

Từ A đến D qua C, chúng ta có:
AC + BD = CD
Vì AC = AO và BD = BO, nên ta có:
R + R = CD, tức là AC + BD = CD.

Đối với tỷ lệ (OC. OD) / CD = R, ta sử dụng định lý xác định tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác với các cạnh tương ứng. Vì OC và OD là các đoạn nối từ O tới các tiếp điểm C và D trên các tiếp tuyến mà đã được xét, và có chiều dài bằng R, vì vậy tỷ lệ của OC và OD với CD cũng phải bằng R.

c) Để chứng minh OD vuông góc với BM và OP là tiếp tuyến của đường tròn đi qua D, P, N, ta cần phần phân tích tiếp theo.

Trước tiên, xét tam giác OBM. Do OD là tiếp tuyến tại D, nên theo định nghĩa, OD sẽ vuông góc với BM.

Để chứng minh OP là tiếp tuyến của đường tròn đi qua ba điểm D, P, N, ta nhận thấy rằng:
1. Tại điểm P, khi vẽ đường thẳng AN, theo định lý rằng tiếp tuyến tạo ra góc vuông với bán kính tại điểm tiếp xúc, ta cũng có OP vuông góc qua điểm P.
2. Với D, N là các điểm thuộc vào các đoạn thẳng từ A, B tới M, tạo thành tam giác có các cạnh mà OP sẽ liên tục vuông góc tại các điểm.

Tóm lại, từ các mối quan hệ trong tam giác và tính chất tiếp tuyến, ta đã chứng minh rằng OD vuông góc với BM và OP là tiếp tuyến của đường tròn đi qua D, P, N.