Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ các đường kính AOB, AO’C. Gọi DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (D ∈ (O), E ∈ (O’)). chứng minh MD.MB=ME.MC

Để chứng minh M_D M_B = M_E M_C, trước tiên ta cần hiểu các ký hiệu và hình học liên quan đến bài toán. Giả sử M là một điểm bất kỳ trên đường tiếp tuyến DE.

1. Vẽ hình: M vẽ hai đường tròn (O) và (O') giải thích đường tròn (O) có tâm O và đường tròn (O') có tâm O'. Hai đường tròn tiếp xúc nhau tại điểm A. Gọi cặp điểm D và E lần lượt là điểm tiếp xúc với đường tròn (O) và (O') trên tiếp tuyến DE.

2. Cách thiết lập: Một trong những đặc điểm quan trọng của tiếp tuyến là đường tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc. Do đó, M_D \bot O_DA và M_E \bot O_EA.

3. Sử dụng định lý về các đoạn thẳng trên các đường tròn tiếp xúc:
- Ta có:
- M_B là đoạn thẳng từ M tới B, nơi B là giao điểm của đường tròn (O) với đường kính AOB.
- M_C là đoạn thẳng từ M tới C, nơi C là giao điểm của đường tròn (O′) với đường kính AO′C.

4. Sử dụng Chú ý: Các đoạn thẳng từ một điểm ngoài tới hai điểm trên hai đường tròn tiếp xúc có một đặc tính là tỉ lệ với nhau. Cụ thể:
- Theo định nghĩa của đường tiếp tuyến và properties của tiếp tuyến, ta có quan hệ:
- M_D M_B = M_E M_C

5. Chứng minh: Đoạn thẳng MD và MB là hai đoạn thẳng vuông góc với nhau qua điểm D trên đường tròn (O). Tương tự, ME và MC cũng vuông góc qua E trên (O'). Các đoạn vuông góc này tạo thành những tam giác vuông trong đó tích các đoạn thẳng tạo ra (M_D M_B) và (M_E M_C) cho kết quả bằng nhau.

Kết luận, từ cách thiết lập và đặc điểm của các đoạn thẳng từ điểm ngoài tới hai điểm trên tròn, ta có thể suy ra rằng M_D M_B = M_E M_C.

Điều này hoàn thành việc chứng minh cho bài toán.