11. Bằng thuật toán Oclit tỉm ước chung lớn nhất d của a = 786 và b = 285. Từ đó tỉm các số u và v sao cho :au + bv = d12. Tìm UCLN (a, a + 2) với a E Z.13. Chứng minh rằng UCLN (3a +

11. Để tìm ước chung lớn nhất (UCLN) của a = 786 và b = 285 bằng thuật toán Euclid, chúng ta thực hiện như sau:

Bước 1: Thực hiện phép chia 786 cho 285:
786 = 285 * 2 + 216
Dư là 216.

Bước 2: Thực hiện phép chia 285 cho 216:
285 = 216 * 1 + 69
Dư là 69.

Bước 3: Thực hiện phép chia 216 cho 69:
216 = 69 * 3 + 9
Dư là 9.

Bước 4: Thực hiện phép chia 69 cho 9:
69 = 9 * 7 + 6
Dư là 6.

Bước 5: Thực hiện phép chia 9 cho 6:
9 = 6 * 1 + 3
Dư là 3.

Bước 6: Thực hiện phép chia 6 cho 3:
6 = 3 * 2 + 0
Dư là 0, kết thúc.

UCLN của 786 và 285 là 3.

Để tìm u và v sao cho 786u + 285v = 3, chúng ta có thể sử dụng phương pháp lùi lại trong thuật toán Euclid:

Từ bước 5: 3 = 9 - 1*6
Thay 6 từ bước 4 vào: 3 = 9 - 1(69 - 79) = 89 - 169.

Từ bước 3, thay 9 vào: 3 = 8(216 - 369) - 169 = 8216 - 25*69.

Tiếp tục thay 69 từ bước 2: 3 = 8216 - 25(285 - 1216) = 33216 - 25*285.

Cuối cùng, thay 216 từ bước 1 vào: 3 = 33(786 - 2285) - 25285 = 33786 - 91*285.

Vậy u = 33 và v = -91.

12. Để tìm UCLN(a, a + 2) với a thuộc Z, ta có thể phân tích:

UCLN(a, a + 2) = UCLN(a, (a + 2) - a) = UCLN(a, 2).

Do a là số nguyên tùy ý, nếu a chẵn, UCLN(a, 2) = 2. Nếu a lẻ, UCLN(a, 2) = 1. Do đó, UCLN(a, a + 2) có thể nhận giá trị 1 hoặc 2 tùy thuộc vào a là chẵn hay lẻ.

13. Để chứng minh rằng UCLN(3a + 5b, 8a + 13b) = UCLN(a, b), ta có thể sử dụng tính chất của UCLN:

Giả sử d = UCLN(a, b). Từ định nghĩa, ta có d | a và d | b.

Áp dụng vào các biểu thức:
- Với 3a + 5b, do d chia hết a và b nên cũng chia hết 3a + 5b (vì 3a + 5b = 3(a) + 5(b)).
- Với 8a + 13b, tương tự ta thấy d cũng chia hết cho 8a + 13b.

Do đó, d là ước chung của 3a + 5b và 8a + 13b, vậy UCLN(3a + 5b, 8a + 13b) ≥ d.

Ngược lại, nếu p = UCLN(3a + 5b, 8a + 13b), thì p chia hết cho cả hai biểu thức. Bằng cách sắp xếp và viết chúng lại, ta thấy rằng các phần tử này đều có thể được diễn tả dưới dạng a và b, từ đó xác định rằng sẽ không có ước nào lớn hơn được (theo tính chất UCLN).

Kết luận, UCLN(3a + 5b, 8a + 13b) = UCLN(a, b).