Tìm GTNN của biểu thức: `A = x^2 + 2y^2 - 2xy + 4y + 2014`

Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức A = x^2 + 2y^2 - 2xy + 4y + 2014, chúng ta sẽ sử dụng kỹ thuật hoàn thành bình phương cho các biến x và y.

1. Nhóm các hạng tử liên quan đến x và y:

Chúng ta có thể viết lại A như sau:
A = (x^2 - 2xy + 2y^2) + 4y + 2014

2. Hoàn thành bình phương cho phần x và y:

Nhìn vào biểu thức x^2 - 2xy + 2y^2, ta nhận thấy rằng nó có thể được viết dưới dạng:

x^2 - 2xy + 2y^2 = (x - y)^2 + y^2

Như vậy, chúng ta có thể viết lại A như sau:

A = (x - y)^2 + y^2 + 4y + 2014

3. Tiếp tục xử lý phần liên quan đến y:

Bây giờ, hãy xem xét phần y^2 + 4y. Chúng ta có thể hoàn thành bình phương cho phần này:

y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4

Do đó, ta có thể viết lại biểu thức A:

A = (x - y)^2 + [(y + 2)^2 - 4] + 2014
A = (x - y)^2 + (y + 2)^2 + 2010

4. Tìm GTNN:

Bây giờ A sẽ đạt giá trị nhỏ nhất khi cả hai hạng tử (x - y)^2 và (y + 2)^2 bằng 0, tức là khi:

(x - y) = 0 => x = y
(y + 2) = 0 => y = -2

Thay y = -2 vào x = y, ta có x = -2.

5. Tính giá trị nhỏ nhất:

Khi thay x = -2 và y = -2 vào biểu thức A:

A = (-2)^2 + 2(-2)^2 - 2(-2)(-2) + 4(-2) + 2014
= 4 + 2(4) - 8 - 8 + 2014
= 4 + 8 - 8 - 8 + 2014
= 2010

Vậy GTNN của A là 2010.