Câu 5. (2,0 điểm) Cho AABC vuông tại A (AB < AC), có AH là đường cao. Kè HE vuông góc AB tại E, kẻ HF vuông góc AC tại F. a) Chứng mình từ giác AEHF là hình chữ nhật . b) Lây điểm M đối xứng với điểm A qua

a) Để chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật, chúng ta cần xét các yếu tố liên quan đến các góc và độ dài các cạnh.

1. Đầu tiên, theo đề bài, tam giác AABC vuông tại A, trong đó AB < AC.
2. Đường cao AH vuông góc với cạnh BC, do đó AH cũng vuông góc với AB và AC.
3. Kẻ HE vuông góc với AB tại E và kẻ HF vuông góc với AC tại F.
4. Từ đó, có thể khẳng định rằng góc AHE = 90 độ vì HE vuông góc với AB và góc AHF = 90 độ vì HF vuông góc với AC.
5. Do đó, tứ giác AEHF có 2 góc vuông AHE và AHF.
6. Hơn nữa, các cạnh AE và HF đều song song với nhau (AE song song HF) hoặc cùng bằng nhau (vì cả hai đều là độ dài từ đỉnh A đến các đường ngang).
7. Vì vậy, tứ giác AEHF có 2 cạnh đối diện bằng nhau và 2 góc vuông, nên AEHF là hình chữ nhật.

b) Để chứng minh tứ giác EFMH là hình thoi, ta cần chứng minh các cạnh của nó bằng nhau.

1. Theo cách xây dựng, điểm M là đối xứng với A qua điểm F.
2. Điều này có nghĩa là AM = MF.
3. Do F nằm trên HF và E nằm trên HE, ta có EF song song với MH, do cả hai đều là các đoạn vuông góc với các đường chính.
4. Một đặc điểm của hình thoi là các cạnh đối diện bằng nhau và các đường chéo cắt nhau tại trung điểm.
5. Do đó, ta có:
- EF = MH
- EM = MF (bởi vì M là đối xứng với A qua F)
6. Nếu EM = MH và EF = MF, ta có rằng tất cả các cạnh của tứ giác EFMH đều bằng nhau. Từ đó, EFMH là hình thoi.

c) Để chứng minh tứ giác AHMN là hình thoi, ta cần phân tích các tính chất của hình và các cạnh.

1. Khi kẻ đường thẳng M song song với AH và đường thẳng này cắt HF tại N, ta có MN song song với AH.
2. Từ đó cho thấy:
- AH = MN (vì chúng đều song song và cùng nằm trong cùng một mặt phẳng).
3. Và từ đoạn MF ở trên, ta có MF = EM, do đó MF = AH.
4. Trong tứ giác AHMN có những thuộc tính giữa các cạnh:
- AH = MN
- AM = AM (hơi hiển nhiên nhưng cần nhắc lại)
5. Chúng ta đã có 2 cặp cạnh đối diện là bằng nhau: AH = MN và AM = HM.
6. Nếu cả 4 cạnh của tứ giác AHMN đều bằng nhau, ta kết luận rằng AHMN là hình thoi vì nó có 2 cặp cạnh đối diện bằng nhau và các cạnh này lần lượt tạo với nhau nguyên một trường hợp hình thoi.

Tóm lại, các bước và lý luận trên đã chứng minh lần lượt tính chất của hình chữ nhật, hình thoi từ các yếu tố đã được đề ra trong đề bài.