so sánh A=2+2^1+2^2+2^3+...+2^2022 và 2^2023-1

Để so sánh hai biểu thức \( A = 2 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{2022} \) và \( 2^{2023} - 1 \), ta cần quy nạp và rút gọn biểu thức \( A \).

Thực hiện hành động này, ta nhận thấy rằng \( A \) là một tổng của dãy số hình thành bởi các lũy thừa của 2. Tổng này có thể được tính như sau:

A = 2 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{2022}

Điều này có thể được biểu diễn dưới dạng tổng hai số hạng:

A = 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{2022} + 2^0

Sử dụng công thức tổng của dãy số hình học:

S_n = a(1 - r^n) / (1 - r)

Trong đó:
- \( a \) là số hạng đầu tiên (ở đây là \( 2^0 = 1 \)),
- \( r \) là tỷ lệ (ở đây là 2),
- \( n \) là số hạng (ở đây là 2023 vì dãy số bắt đầu từ \( 2^0 \) đến \( 2^{2022} \)).

Áp dụng công thức cho tổng của dãy:

A = 1(1 - 2^{2023}) / (1 - 2)

A = (1 - 2^{2023}) / (-1)

A = 2^{2023} - 1

Như vậy, \( A = 2^{2023} - 1 \).

Bây giờ ta có thể so sánh:

A = 2^{2023} - 1 và 2^{2023} - 1.

Từ đó, nhận thấy rằng:

A = 2^{2023} - 1 = 2^{2023} - 1.

Vậy nên:

A = 2^{2023} - 1.

Do đó, \( A \) và \( 2^{2023} - 1 \) bằng nhau.

Kết luận: \( A \) và \( 2^{2023} - 1 \) là bằng nhau.