chứng minh 2n+1 chia hết cho n+1

Để chứng minh rằng \(2n + 1\) chia hết cho \(n + 1\), ta cần chỉ ra rằng tồn tại một số nguyên \(k\) sao cho \(2n + 1 = k(n + 1)\).

Bắt đầu từ biểu thức \(2n + 1\), ta có thể biến đổi như sau:
1. \(2n + 1 = 2n + 2 - 1 = 2(n + 1) - 1\)

Trong biểu thức \(2(n + 1) - 1\), ta thấy rằng \(2(n + 1)\) là số chia mà chúng ta đang xem xét. Ta cần kiểm tra xem khi chia \(2n + 1\) cho \(n + 1\), ta có được phần dư hay không.

Xét số \(2n + 1\) chia cho \(n + 1\):
- Tiến hành chia:
\(2n + 1 = 2(n + 1) - 1\)

Khi chia cho \(n + 1\), ta có:
- Số bị chia là \(2(n + 1) - 1\), tức là nếu ta chia \(2(n + 1)\) cho \(n + 1\), phần nguyên sẽ là \(2\), và phần dư sẽ là \(-1\). Nhưng vì chúng ta cần tìm số nguyên âm gây phần dư dương, nên ta cần xem xét kỹ.

Để rõ ràng hơn, thực hiện phép chia:
- \(2n + 1\) chia cho \(n + 1\) có thể viết lại dạng:
\(2n + 1 = 2(n + 1) - 1 \implies 2(n + 1) - (n + 1) = n + 1 - 1\)

Từ đó, ta rút ra \(2n + 1\) chia hết cho \(n + 1\) nếu như \(n + 1\) không phân chia chính xác dẫn đến phần dư \(1\) hoặc \(n-1\) tùy vào giá trị của \(n\).

Để đưa ra một ví dụ cụ thể, nếu \(n = 1\):
- Khi đó \(2 \cdot 1 + 1 = 3\) và \(1 + 1 = 2\). Ta thấy rằng \(3\) chia cho \(2\) dư \(1\).

Có lẽ sẽ không đúng cho mọi giá trị của \(n\) vì rằng không nhất thiết \(2n + 1\) chia hết cho \(n + 1\).

Kết luận là \(2n + 1\) không nhất thiết chia hết cho \(n + 1\) cho mọi giá trị \(n\).