biết số x và số y là hai số nguyên tố cùng nhau chứng minh 5x + 2y và 7 x +  2y là hai số nguyên tố cùng nhau rút gọn: A=2^2024-2^2023+2^2022-2^2021+..........................2^2-2+1

Để chứng minh rằng 5x + 2y và 7x + 2y là hai số nguyên tố cùng nhau, chúng ta bắt đầu với định nghĩa về hai số nguyên tố cùng nhau: hai số nguyên a và b được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ước số chung lớn nhất (ƯSCN) của chúng là 1, tức là gcd(a, b) = 1.

Gọi a = 5x + 2y và b = 7x + 2y. Bây giờ, chúng ta sẽ tính ƯSCN của hai số này.

Ta có:
- a = 5x + 2y
- b = 7x + 2y

Chúng ta có thể viết b dưới dạng biến đổi liên quan đến a như sau:
b - a = (7x + 2y) - (5x + 2y) = 2x.

Vậy ta có:
b = a + 2x.

Bây giờ, để tìm ƯSCN(a, b), chúng ta sử dụng tính chất của ƯSCN:
gcd(a, b) = gcd(a, b - a).

Vậy:
gcd(a, b) = gcd(5x + 2y, 2x).

Tiếp theo, chúng ta sẽ tính ƯSCN của 5x + 2y và 2x. Để có được một cái nhìn rõ ràng hơn, ta cần xem xét các trường hợp của x và y.

Vì x và y là hai số nguyên tố cùng nhau, nên gcd(x, y) = 1. Điều này có nghĩa là các ước số của x và y không chung nhau, ngoài 1.

Chúng ta sẽ cố gắng tìm ƯSCN(5x + 2y, 2x) bằng cách phân tích các thành phần.

Góc nhìn đầu tiên:
- 5x + 2y có thể được viết là 5x + 2y = 5x + 2y,
- 2x là một bội của x.

Chúng ta cần kiểm tra xem liệu có bất kỳ số nào lớn hơn 1 nào chia hết cho cả 5x + 2y và 2x hay không.

Hãy phân tích:
- Nếu d là ước chung của 5x + 2y và 2x thì d phải chia hết cho 2x.
- Chúng ta cũng có thể thấy rằng nếu d chia hết cho 2x, thì d cũng sẽ thành phần từ y, ngay cả khi y là số nguyên tố.

Cũng theo định nghĩa của số nguyên tố, x và y không chia hết cho nhau; do đó, không có số nào khác ngoài 1 có thể chia hết cho cả 5x + 2y và 2x.

Với các kết luận trên, chúng ta có thể tổng hợp lại rằng:
gcd(5x + 2y, 2x) = 1,
và do đó,
gcd(5x + 2y, 7x + 2y) = 1.

Vì vậy, 5x + 2y và 7x + 2y là hai số nguyên tố cùng nhau.

---

Bây giờ chúng ta sẽ giải quyết bài toán rút gọn sau:

A = 2^2024 - 2^2023 + 2^2022 - 2^2021 + ... + 2^2 - 2 + 1

Ta có thể nhóm các số hạng trong tổng này lại theo cặp, và biểu thức sẽ trở nên rõ ràng hơn.

Gọi S = 2^2024 - 2^2023 + 2^2022 - 2^2021 + ... + 2^2 - 2 + 1.

Có tổng số hạng là 2025 (từ 2^0 đến 2^2024).

Với mỗi cặp, ta sẽ có:
(2^k - 2^(k-1)) với k là các số lẻ.
Căn cứ vào quy luật tổng, chúng ta có thể thấy các cặp như sau:
- (2^2024 - 2^2023) + (2^2022 - 2^2021) + ... + (2^2 - 2) + 1

Điều này tạo nên một chuỗi mà giá trị của mỗi cặp đều là 1 (vì 2^k - 2^(k-1) = 2^(k-1)(2-1) = 2^(k-1)).

Số lượng cặp là n-1 (với n là số hạng cuối cùng, ngay sau n lần trừ). 2024 tổng cộng 2025 số hạng làm cho có tổng 1012 cặp (trong đó có thêm 1 số hạng rời ở cuối).

Vậy A = 1012 + 1.

Cuối cùng, số hạng A = 1013.