tính nhé mn ơi giúp mik với

Để tính biểu thức này, trước tiên ta quan sát mẫu số của từng phân số. Các phân số trong biểu thức có dạng:

- $ \frac{2}{1 \times 3} $
- $ \frac{2}{3 \times 5} $
- $ \frac{2}{5 \times 7} $
- ...
- $ \frac{7}{20 \times 27} $

Chúng ta thấy rằng mẫu số của các phân số là các tích của hai số liên tiếp. Cụ thể:

- $1 \times 3 = 3$
- $3 \times 5 = 15$
- $5 \times 7 = 35$
- ...

Mỗi phân số đều có tử số là một số nguyên, và có thể nhận thấy rằng tử số trong các phân số thay đổi từ $2$ ở phân số đầu tiên cho đến $7$ ở phân số cuối cùng.

Có thể viết lại môi liên tiếp của mẫu số một cách tổng quát như sau:

Mẫu số của phân số thứ n sẽ là $(2n-1)(2n+1)$ với n bắt đầu từ 1 đến 20.

Biểu thức này có thể được viết lại thành:

$$ \sum_{n=1}^{20} \frac{2}{(2n-1)(2n+1)} $$

Sử dụng quy tắc phân tích phân số, ta sẽ có:

$$ \frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} $$

Như vậy, biểu thức tổng trở thành:

$$ \sum_{n=1}^{20} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) $$

Khi tính toán, ta nhận thấy đây là một chuỗi rút gọn. Các phần tử sẽ loại bỏ lẫn nhau:

- Khi n=1: $ \frac{1}{1} - \frac{1}{3} $
- Khi n=2: $ \frac{1}{3} - \frac{1}{5} $
- Khi n=3: $ \frac{1}{5} - \frac{1}{7} $
- ...
- Khi n=20: $ \frac{1}{39} - \frac{1}{41} $

Như vậy, sau khi cộng các phần tử lại với nhau, phần tử đầu tiên và phần tử thứ 40 của chuỗi sẽ không bị loại bỏ, còn tất cả các phần tử trung gian sẽ bị hủy bỏ.

Kết quả cuối cùng của tổng vừa được tính là:

$$ 1 - \frac{1}{41} = \frac{41}{41} - \frac{1}{41} = \frac{40}{41} $$

Cho nên, tổng của biểu thức ban đầu là:

$$ \frac{40}{41} $$