Giải phương trình: (x+1+$frac{1}{x}$ )$^{2}$ =(x-1-$frac{1}{x}$ )$^{2}$

Để giải phương trình (x+1+\frac{1}{x})^{2} = (x-1-\frac{1}{x})^{2}, chúng ta cần phân tích và khai triển hai vế của phương trình.

1. Khai triển hai bên:
Bên trái:
(x + 1 + \frac{1}{x})^{2} = (x + 1)^{2} + 2(x + 1)(\frac{1}{x}) + (\frac{1}{x})^{2}
= x^{2} + 2x + 1 + 2 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}
= x^{2} + 2x + 3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}.

Bên phải:
(x - 1 - \frac{1}{x})^{2} = (x - 1)^{2} - 2(x - 1)(\frac{1}{x}) + (\frac{1}{x})^{2}
= x^{2} - 2x + 1 - 2 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}
= x^{2} - 2x - 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}.

2. So sánh hai vế:
Giờ chúng ta có:
x^{2} + 2x + 3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} = x^{2} - 2x - 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}.

Bỏ đi x^{2}, \frac{2}{x}, và \frac{1}{x^{2}} ở cả hai bên, ta có:
2x + 3 = -2x - 1.

Giải phương trình này:
2x + 2x = -1 - 3
4x = -4
x = -1.

3. Kiểm tra nghiệm:
Ta cần kiểm tra xem x = -1 có thỏa mãn phương trình ban đầu không.
Thay x = -1 vào phương trình:
Bên trái:
(-1 + 1 + \frac{1}{-1})^{2} = (0 - 1)^{2} = 1.
Bên phải:
(-1 - 1 - \frac{1}{-1})^{2} = (-2 + 1)^{2} = (-1)^{2} = 1.

Cả hai bên đều bằng 1, nên x = -1 là nghiệm hợp lệ của phương trình.

Vì vậy, nghiệm của phương trình là:
x = -1.