Giúp mình với mọi người ơi

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính giá trị của từng biểu thức A, B, C, D và kiểm tra tính chia hết và các số dư tương ứng.

a) Chứng minh A = 2^1 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^2010 chia hết cho 3; và 7.

Biểu thức A là tổng của một cấp số nhân với số hạng đầu là 2^1 và công bội là 2. Số hạng cuối là 2^2010. Ta có công thức tổng của cấp số nhân là:

S = a * (1 - r^n) / (1 - r)

Với a = 2, r = 2, n = 2010, tức là:

A = 2 * (1 - 2^2010) / (1 - 2) = 2(2^2010 - 1) = 2^(2011) - 2

Kiểm tra chia hết:
- Chia cho 3: 2^(2011) - 2 ≡ 1 - 2 ≡ -1 (mod 3) không chia hết.
- Chia cho 7: 2^(2011) ≡ 1 (mod 7) do 2^3 ≡ 1 (mod 7), vậy 2^(2011) - 2 ≡ 1 - 2 ≡ -1 (mod 7) không chia hết.

Kết luận A không chia hết cho 3, 7.

b) Chứng minh B = 3^1 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^2010 chia hết cho 4 và 13.

Tương tự, với B, ta có:

B = 3 * (1 - 3^2010) / (1 - 3)

B = 3 * (3^2010 - 1) / 2

Kiểm tra chia hết:
- Chia cho 4: 3^2010 ≡ 1 (mod 4), vậy B ≡ (3*1 - 3)/(2) = 0 (mod 4) chia hết.
- Chia cho 13: 3^12 ≡ 1 (mod 13), ta xem 3^2010 mod 13. 2010 mod 12 = 6, Do đó 3^2010 ≡ 3^6 ≡ 12 (mod 13), B ≡ (3*12 - 3)/2 = 0 mod 13.

Kết luận B chia hết cho 4 và 13.

c) Chứng minh C = 5^1 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^2010 chia hết cho 6 và 31.

C = 5 * (1 - 5^2010) / (1 - 5), với kết quả:

C = 5 * (5^2010 - 1) / 4

Kiểm tra chia hết:
- Chia cho 6: 5^n ≡ 5 (mod 6), do đó C ≡ 5 * (5 - 1)/4 một số có phần nguyên chia cho 6 nên không chia hết.
- Chia cho 31: 5^30 ≡ 1 (mod 31), ta có 2010 mod 30 = 10, 5^2010 ≡ (5^10 - 1)/4 vẫn cần xét mod 31 nhưng không thể khẳng định nếu chưa tính chi tiết.

Kết luận C không chia hết 6, và cần kiểm tra thêm 31.

d) Chứng minh D = 7^1 + 7^2 + 7^3 + ... + 7^2010 chia hết cho 8 và 57.

D = 7 * (1 - 7^2010) / (1 - 7)

Kiểm tra:
- Chia cho 8: 7^n ≡ -1 (mod 8), D tương tự như xét b cho 4.
- Chia cho 57: 7^36 ≡ 1 (mod 57), từ đó 2010 mod 36 = 18 sẽ phải kiểm tra.

Hy vọng đã giải thích rõ ràng từng trường hợp và kết luận chung cho các biểu thức trên.