Cho hình chóp tứ giác SABCD. Lấy các điểm M,N,P lần lượt là trung điểm cạnh SA,SB,SC. Mặt phẳng (MNP) cắt SD tại Q. CMR: a, NP song song với mặt phẳng nào, (MNP), MN // (ABCD)

Để chứng minh các điều cần chứng minh trong bài tập này, chúng ta sẽ tiến hành từng bước một.

a) Để chứng minh rằng đoạn NP song song với mặt phẳng MNP, trước hết hãy xem xét cách mà các điểm M, N, P được xác định:

- M điểm giữa của SA, tức là M = (S + A)/2.
- N điểm giữa của SB, tức là N = (S + B)/2.
- P điểm giữa của SC, tức là P = (S + C)/2.

Khi xây dựng mặt phẳng (MNP), ta thấy rằng M, N và P nằm trên các đường thẳng (SA), (SB), (SC) tương ứng. Bởi vì MNP là mặt phẳng đi qua ba điểm không nằm trên một đường thẳng, nó xác định một mặt phẳng trong không gian.

Để chứng minh NP song song với mặt phẳng (MNP), ta nhận thấy rằng NP nằm trong mặt phẳng MNP, do đó NP chính là một trong các đường thẳng của mặt phẳng này. Một đoạn thẳng trong một mặt phẳng thì tự nhiên sẽ song song với mặt phẳng đó.

b) Để chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (ABCD), ta cần xem xét vị trí của các điểm A, B, C, D trong không gian và cách mà MN được xác định:

- MN nằm trên mặt phẳng MNP. Vì M và N đều là trung điểm của các cạnh của tam giác, nên MN là đoạn thẳng nối giữa A và B với tỉ lệ bằng nhau từ S.

Mặt phẳng (ABCD) là mặt phẳng đáy của hình chóp tứ giác. Ta có thể thấy rằng các điểm A, B, C, D không nằm trên cùng một mặt phẳng với M và N vì chúng nằm trong mặt phẳng (ABCD) và liên quan đến các điểm từ đỉnh chóp S bên trên.

Dựa trên điều này, ta có thể kết luận rằng MN, là đường nối giữa M và N, sẽ không cắt mặt phẳng (ABCD) nhưng vẫn song song với nó, vì độ dốc của nó thấp hơn so với đường chéo từ S tới mặt phẳng đáy. Điều này do các độ dài và vị trí của các điểm M, N tạo nên.

Vậy nên, ta có thể kết luận được rằng đoạn thẳng MN // (ABCD), bởi vì hai đoạn thẳng nối giữa các điểm trung điểm không chạm vào mặt phẳng đáy, và do đó chúng sẽ luôn song song với mặt phẳng đó.