Giải chi tiết giúp mình ạ

Để giải bài toán giới hạn này, ta cần tính:

lim (x -> 1) [(√(x³ + 7) - √(x² + 3)) / (x - 1)]

Khi thay x = 1 vào biểu thức, ta có:

√(1³ + 7) - √(1² + 3) = √8 - √4 = 2√2 - 2.

Và mẫu thì là:

1 - 1 = 0.

Vậy biểu thức trở thành dạng 0/0, tức là cần phải đơn giản hóa để giải quyết.

Để đơn giản biểu thức, ta sẽ nhân tử số và mẫu với biểu thức liên hợp của tử số:

(√(x³ + 7) - √(x² + 3)) * (√(x³ + 7) + √(x² + 3)) / (√(x³ + 7) + √(x² + 3))

Khi đó, tử số trở thành:

(√(x³ + 7))^2 - (√(x² + 3))^2 = (x³ + 7) - (x² + 3) = x³ - x² + 4.

Thay vào biểu thức, ta có:

lim (x -> 1) [(x³ - x² + 4) / ((x - 1)(√(x³ + 7) + √(x² + 3)))]

Bây giờ, ta thay x = 1 vào tử số, ta có:

1³ - 1² + 4 = 1 - 1 + 4 = 4.

Và mẫu dưới dấu giới hạn:

(1 - 1)(√(1³ + 7) + √(1² + 3)) = 0 * (√8 + √4) = 0.

Vậy bây giờ chúng ta có một dạng 0/0 một lần nữa. Thay vào x = 1, chúng ta có thể sử dụng định nghĩa về đạo hàm để lấy giới hạn:

Nhưng thay vào đó, ta vẫn có thể nhân và rút gọn để khiến mẫu trở về số dương:

lim (x -> 1) [(4) / (√(x³ + 7) + √(x² + 3))].

Khi x tiến đến 1:

lim (x -> 1) (√(x³ + 7) + √(x² + 3)) = √(1³ + 7) + √(1² + 3) = √8 + √4 = 2√2 + 2.

Cuối cùng, ta có:

lim (x -> 1) [(4) / (√(x³ + 7) + √(x² + 3))] = 4 / (2√2 + 2).

Sau khi tính toán, ta có thể tối giản hơn:

4 / (2(√2 + 1)) = 2 / (√2 + 1).

Do đó, giới hạn là:

2 / (√2 + 1).