Cho ∆ABC đều cạnh bằng a nội tiếp đường tròn (O) . Điểm M thuộc (O) sao cho T=| vectơ MA+ vectơ MB - vectơ MC | lớn nhất và nhỏ nhất . Khi đó min + max của T bằng bao nhiêu

Để giải bài toán này, ta trước tiên cần hiểu rõ về các vectơ MA, MB, MC trong hình vuông đều ∆ABC có cạnh bằng a và nội tiếp đường tròn (O).

Gọi R là bán kính của đường tròn nội tiếp, với R = a/(√3) vì đường tròn nội tiếp trong một tam giác đều có bán kính bằng cạnh chia cho căn bậc hai của 3. Bây giờ, điểm M nằm trên đường tròn (O) và tọa độ của các điểm A, B, C có thể được xác định như sau:

- A = (0, R)
- B = (-a/2, -R/2)
- C = (a/2, -R/2)

Tính các vectơ MA, MB, MC:

- vect MA = vect(M) - vect(A)
- vect MB = vect(M) - vect(B)
- vect MC = vect(M) - vect(C)

Sau đó, ta có T = |vect MA + vect MB - vect MC|. Để đơn giản hóa biểu thức này, ta có thể biến đổi như sau:

T = |(vect(M) - vect(A)) + (vect(M) - vect(B)) - (vect(M) - vect(C))|
= |3*vect(M) - (vect(A) + vect(B) - vect(C))|

Khi điểm M di chuyển trên đường tròn, vect(M) sẽ thay đổi, do đó T phụ thuộc vào hướng và độ dài của vect(M) và các điểm A, B, C cố định trong không gian.

Để tìm các giá trị cực đại và cực tiểu của T, ta cần hiểu rằng T sẽ lớn nhất khi các vectơ có hướng đồng pha và nhỏ nhất khi các vectơ có hướng ngược nhau. Do M nằm trong đường tròn (O), ta có thể chọn các vị trí đặc biệt trên đường tròn cho M để tính toán giá trị của T.

Với điều kiện M nằm đối xứng qua các điểm A, B, C, ta sẽ tính được giá trị max và min của T.

Giá trị tối đa T sẽ khi MA, MB, MC đồng pha và đạt giá trị tối thiểu khi chúng ngược pha lại. Tại điểm này, ta có thể suy ra rằng tổng T_max + T_min = 0.

Kết luận là min + max của T sẽ bằng 0.