Cho hình chóp S.ABC , tam giác ABC vuông tại A , góc SBA= SCA =90 độ . , AB=AC . Tìm khoảng cách từ B đến mp(SAC)

Để xác định khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC), trước tiên ta cần tìm tọa độ các điểm trong hình chóp S.ABC.

Giả sử:

- A có tọa độ (0, 0, 0).
- B có tọa độ (a, 0, 0).
- C có tọa độ (0, a, 0).
- S có tọa độ (0, 0, h) với h > 0.

Trong đó, AB = AC = a.

Tam giác ABC vuông tại A, do đó:

- Vector AB = B - A = (a, 0, 0).
- Vector AC = C - A = (0, a, 0).

Mặt phẳng SAC được xác định bởi các điểm S, A và C. Để tìm phương trình mặt phẳng SAC, ta cần biết hai vector bao hàm mặt phẳng:

- Vector SA = A - S = (0, 0, 0) - (0, 0, h) = (0, 0, -h).
- Vector SC = C - S = (0, a, 0) - (0, 0, h) = (0, a, -h).

Tiếp theo, ta tính vector pháp tuyến của mặt phẳng bằng tích có hướng của hai vector trên:

SA x SC = | i j k |
| 0 0 -h |
| 0 a -h |

= i (0 - 0) - j (0 - 0) + k (0 a - 0 * 0) = (ah, 0, 0).

Vậy vector pháp tuyến N của mặt phẳng SAC là (ah, 0, 0), và phương trình mặt phẳng có thể viết dưới dạng:

ah(x - 0) + 0(y - 0) + 0(z - h) = 0
=> ahx = 0.

Điều này có nghĩa là x = 0 (trong mặt phẳng SAC).

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm khoảng cách từ điểm B (a, 0, 0) đến mặt phẳng (SAC). Khoảng cách d từ một điểm (x0, y0, z0) đến mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 được tính bằng công thức:

d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2).

Với mặt phẳng chúng ta có từ A = ah, B = 0, C = 0, D = 0, ta có:

A = ah, B = 0, C = 0, D = 0,
x0 = a, y0 = 0, z0 = 0.

Áp dụng vào công thức trên ta có:

d = |ah(a) + 0(0) + 0(0) + 0| / sqrt((ah)^2 + 0^2 + 0^2)
= |a^2h| / |ah|
= a.

Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) là a.