Giúp mình hai câu 3 và 4 với

Câu 3: Để phương trình \(x^2 - (m+1)x + 1 = 0\) vô nghiệm, cần phải xem xét điều kiện của delta:

Delta (Δ) của phương trình bậc hai có dạng:

\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]

Trong đó \(a = 1\), \(b = -(m+1)\) và \(c = 1\).

Tính delta ta có:

\[
\Delta = (-(m+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = (m+1)^2 - 4
\]

Để phương trình vô nghiệm, điều kiện cần là \( \Delta < 0 \):

\[
(m+1)^2 - 4 < 0
\]
\[
(m+1)^2 < 4
\]

Lấy căn bậc hai hai bên, ta có:

\[
|m+1| < 2
\]

Điều này tương đương với:

\[
-2 < m+1 < 2
\]

Giải bất phương trình này, ta được:

\[
-3 < m < 1
\]

Vì \(m\) phải là số nguyên, các giá trị nguyên của \(m\) thỏa yêu cầu này là: \(-3, -2, -1, 0\). Vậy có tổng cộng 4 giá trị nguyên phù hợp.

Câu 4: Để hàm số luôn nhận giá trị dương, cần xét biểu thức \(x^2 - 2x + m - 1\). Biểu thức này cũng là một phương trình bậc hai theo biến \(x\):

\[
y = x^2 - 2x + (m - 1)
\]

Để phương trình này luôn dương, điều kiện là delta của nó phải nhỏ hơn hoặc bằng 0:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 1)
\]
\[
= 4 - 4(m - 1) = 4 - 4m + 4 = 8 - 4m
\]

Để hàm số luôn dương, cần điều kiện \(8 - 4m < 0\):

\[
8 < 4m
\]
\[
2 < m
\]

Vậy, m phải lớn hơn 2. Nếu \(m\) là số nguyên, các giá trị nguyên lớn hơn 2 là \(3, 4, 5, ...\), vô hạn. Do đó, không có giới hạn cụ thể cho m là số nguyên dương để hàm số luôn nhận giá trị dương.