Cho đường tròn (O), M là điểm nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB (A, B là tiếp điểm), kẻ đường thẳng đi qua O song song với AM cắt BM tại K. Chứng minh : a. KO = KM. b. Đường thẳng vuông góc với AM

a. Để chứng minh KO = KM, ta xét tam giác OMA. Do A là tiếp điểm của tiếp tuyến MA, có được OA ⊥ MA. Do đó, trong tam giác OMA, chúng ta có:

- OA = OA (cạnh chung).
- AM = AB (các tiếp tuyến từ điểm M đến đường tròn (O) có độ dài bằng nhau).

Sử dụng định lý Pitago trong tam giác OMA, ta có:
OM^2 = OA^2 + MA^2.

Tương tự, xét tam giác OMB:
OM^2 = OB^2 + MB^2.

Vì MB = MA, ta có:
MA^2 = MB^2.

Như vậy, từ hai phương trình trên, ta có:
KO^2 = OM^2 - AM^2,
KM^2 = OM^2 - AM^2.

Vì vậy, KO = KM.

b. Để chứng minh tam giác OSM cân, ta cần chứng minh OS = OM. Gọi đường thẳng vuông góc với AM tại M cắt OB tại S. Do AM và OB song song, theo tính chất của các đường thẳng song song và góc nội tiếp, ta có:

- OS ⊥ AM
- OB ⊥ AM (bởi OA ⊥ AM).

Vì OA = OB (đều là bán kính của đường tròn tại các tiếp điểm A và B), nên OSM là tam giác có hai cạnh OA và OB bằng nhau, và góc SMA = góc SMB. Từ đó, theo định nghĩa của tam giác cân, OSM là tam giác cân.

c. Để chứng minh SK vuông góc với OM, ta nhận thấy rằng đường thẳng cắt OB tại S và OSM là tam giác cân, do đó, SA = SB. Điều này dẫn đến điểm K là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Ta có:
- OM vuông góc với SK (bởi SK song song với AM và OA ⊥ AM).

Từ đó, ta có SK ⊥ OM, hoàn thành bài toán.