Lời giải câu 22 hộ em vs ạ

Để giải giới hạn lim của biểu thức

\(\frac{5.2^{n+2} - 2.3^{n+2}}{7 + 3^{n+1}}\),

ta so sánh các bậc lớn nhất trong tử số và mẫu số khi \(n\) tiến tới vô cực.

Trong tử số, bậc lớn nhất là \(2^{n+2}\) và trong mẫu số, bậc lớn nhất là \(3^{n+1}\). Khi \(n\) rất lớn, các hạng tử khác trong tử và mẫu sẽ trở nên nhỏ hơn đáng kể so với các bậc lớn nhất và có thể bị bỏ qua.

Ta viết lại biểu thức như sau:

\[
\frac{5 \cdot 2^{n+2} - 2 \cdot 3^{n+2}}{7 + 3^{n+1}} \approx \frac{5 \cdot 2^{n+2}}{3^{n+1}} \text{ (vì \(3^{n+2}\) chiếm ưu thế hơn 7 khi \(n \to \infty\))}
\]

Tiếp theo, ta có thể đơn giản hóa biểu thức này:

\[
= \frac{5 \cdot 2^{n+2}}{3^{n+1}} = 5 \cdot 2^{n+2} \cdot \frac{1}{3^{n+1}} = 5 \cdot 2^{n+2} \cdot 3^{-(n+1)}
\]

Sắp xếp lại ta có:

\[
= 5 \cdot \frac{2^{n+2}}{3^{n+1}} = 5 \cdot \frac{4 \cdot 2^n}{3^{n+1}} = 5 \cdot \frac{4 \cdot 2^n}{3 \cdot 3^n} = \frac{20}{3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
\]

Khi \(n \) tiến đến vô cực, \( \left(\frac{2}{3}\right)^{n} \) sẽ tiến đến 0 vì \(2/3 < 1\).

Do đó, giới hạn cuối cùng sẽ là:

\[
\lim_{n \to \infty} \left(\frac{20}{3}\right) \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n} = 0.
\]

Vậy giới hạn \( \lim_{n \to \infty} \frac{5.2^{n+2} - 2.3^{n+2}}{7 + 3^{n+1}} = 0. \)