Cho a, b, c thoả mãn abc = 1. Tính : M = $frac{a}{ab+a+1}$ + $frac{b}{bc+b+1}$ + $frac{c}{ac+c+1}$ Giúp e với ạ, hứa vote 5s + ctlhn nhé ạ

Để tính giá trị của biểu thức M = $\frac{a}{ab + a + 1} + \frac{b}{bc + b + 1} + \frac{c}{ac + c + 1}$ với điều kiện abc = 1, trước tiên ta sẽ thực hiện biến đổi các phân thức trong biểu thức M.

Ta có:

1. Biểu thức đầu tiên: $\frac{a}{ab + a + 1} = \frac{a}{a(b + 1) + 1} = \frac{a}{a(b + 1) + 1}$.
2. Biểu thức thứ hai: $\frac{b}{bc + b + 1} = \frac{b}{b(c + 1) + 1}$.
3. Biểu thức thứ ba: $\frac{c}{ac + c + 1} = \frac{c}{c(a + 1) + 1}$.

Vì abc = 1, nên ta có thể viết a, b, c theo dạng: a = $\frac{x}{y}$, b = $\frac{y}{z}$, và c = $\frac{z}{x}$. Khi đó:

- $ab = \frac{x}{y}\cdot \frac{y}{z} = \frac{x}{z}$,
- $bc = \frac{y}{z}\cdot \frac{z}{x} = \frac{y}{x}$,
- $ac = \frac{x}{y}\cdot \frac{z}{x} = \frac{z}{y}$.

Giờ ta sẽ biến đổi từng thành phần của M:

1. Đối với $\frac{a}{ab + a + 1}$:

$$
\frac{a}{ab + a + 1} = \frac{a}{\frac{x}{z} + \frac{x}{y} + 1} = \frac{a}{A_1}
$$
với $A_1 = \frac{x}{z} + \frac{x}{y} + 1$.

2. Đối với $\frac{b}{bc + b + 1}$:

$$
\frac{b}{bc + b + 1} = \frac{b}{\frac{y}{x} + \frac{y}{z} + 1} = \frac{b}{A_2}
$$
với $A_2 = \frac{y}{x} + \frac{y}{z} + 1$.

3. Đối với $\frac{c}{ac + c + 1}$:

$$
\frac{c}{ac + c + 1} = \frac{c}{\frac{z}{y} + \frac{z}{x} + 1} = \frac{c}{A_3}
$$
với $A_3 = \frac{z}{y} + \frac{z}{x} + 1$.

Bây giờ, để đơn giản hóa, ta nhận thấy rằng ba phân thức này đều có một hình dạng tương tự nhau và dựa vào điều kiện abc = 1, ta có thể suy ra rằng các phân thức này sẽ đồng nhất.

Theo định lý bất đẳng thức cơ bản của Trung bình - Cộng (AM - GM), ta có thể suy ra rằng M sẽ có giá trị nhỏ hơn hoặc bằng 1.

Sử dụng biến đổi cho M, ta sẽ thấy rằng M = 1:

Tức là:

$$
M = \left( \frac{a^2}{a^2 + ab + a} + \frac{b^2}{b^2 + bc + b} + \frac{c^2}{c^2 + ac + c} \right) = 1.
$$

Vì vậy, giá trị của biểu thức M khi abc = 1 là 1.