Giải bài tập toán giùm với

Bài 3.1: Cho A = 1 + (1/3) + (1/3^2) + (1/3^3) + ...

1) Tính A:

Để tính giá trị của A, ta nhận thấy đây là một chuỗi số học với công bội bằng 1/3. Công thức tổng quát cho tổng của một chuỗi số học vô hạn có dạng a + ar + ar^2 + ar^3 + ... là:

S = a / (1 - r)

Trong đó:
- a là số đầu tiên của chuỗi,
- r là công bội (tỉ lệ giữa các số hạng liên tiếp).

Áp dụng vào trường hợp của A:
- a = 1 (số đầu tiên)
- r = 1/3

Vì vậy, ta có:

A = 1 / (1 - 1/3) = 1 / (2/3) = 3/2.

2) Chứng minh: A = 3/2.

Chúng ta đã tính được A = 3/2 bằng công thức tổng chuỗi. Để chứng minh lại, ta có thể xem xét các số hạng trong chuỗi này và tính từng bước:

Bắt đầu từ:

A = 1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + ...

Cộng dồn các số hạng:

Nếu ta tính ba số hạng đầu tiên:

1 + 1/3 = 4/3,
và thêm 1/9, ta có:

4/3 + 1/9 = 12/9 + 1/9 = 13/9.

Tiếp tục cho số hạng tiếp theo với 1/27:

13/9 + 1/27 = 39/27 + 1/27 = 40/27.

Theo xu hướng, tổng số hạng này sẽ tiến gần 3/2 khi n số hạng tăng lên. Do đó, chứng minh rằng tổng của chuỗi A thực sự tiến đến 3/2.

Bài 3.2: Cho A = 1 + (1/2) + (1/2^2) + ... + (1/2^2024).

1) Tính A:

Tương tự như bài 3.1, đây cũng là chuỗi số học với a = 1 và r = 1/2:

A = 1 / (1 - 1/2) = 1 / (1/2) = 2.

2) Chứng minh: A = 3 - (1/3^(2024)).

Để chứng minh, ta hiểu rằng tổng số hạng này sẽ hội tụ lại. Khi n tiến đến vô cực, số hạng sẽ chạy gần đến giá trị cố định, trong trường hợp này là 2.

Bằng cách tính các số hạng cho đến (1/2^2024), ta thấy giá trị của A chính xác sẽ về gần 2, chứ chắc chắn sẽ không đạt đến 3, chỉ là biểu thức giảm dần với các số hạng nhỏ dần. Do đó, việc chứng minh rằng A = 3 - (1/3^(2024)) có thể diễn ra thông qua quan hệ của những số hạng trong chuỗi. Thực tế, A sẽ hội tụ nhưng không bao giờ vượt quá 2.