cho a,b,c thuộc R thỏa mãn : a^2+b^2+4c^2+1=2*(a+b+2c+1) . Tính giá trị P=a^2020+(b-2)^2021+(2c-1)^2022

Để giải bài toán này, trước tiên ta cần biến đổi phương trình đã cho:

a^2 + b^2 + 4c^2 + 1 = 2 * (a + b + 2c + 1)

Mở rộng vế phải:

a^2 + b^2 + 4c^2 + 1 = 2a + 2b + 4c + 2

Chuyển tất cả các hạng tử về một phía:

a^2 - 2a + b^2 - 2b + 4c^2 - 4c + 1 = 0

Ta nhận thấy rằng biểu thức trên có thể được nhóm lại để dễ dàng hơn trong việc phân tích. Sử dụng công thức hoàn thành bình phương:

1. a^2 - 2a = (a - 1)^2 - 1
2. b^2 - 2b = (b - 1)^2 - 1
3. 4c^2 - 4c = 4(c^2 - c) = 4((c - 0.5)^2 - 0.25) = 4(c - 0.5)^2 - 1

Thay thế vào phân tích:

((a - 1)^2 - 1) + ((b - 1)^2 - 1) + (4(c - 0.5)^2 - 1) + 1 = 0

Rút gọn:

(a - 1)^2 + (b - 1)^2 + 4(c - 0.5)^2 - 2 = 0

Thêm 2 vào hai vế:

(a - 1)^2 + (b - 1)^2 + 4(c - 0.5)^2 = 2

Đây là một phương trình mô tả hình tròn và hình elip trong không gian R^3. Ta có thể nhận thấy rằng:

1. (a - 1)^2 >= 0
2. (b - 1)^2 >= 0
3. 4(c - 0.5)^2 >= 0

Tổng cả ba hạng tử này bằng 2. Để tìm giá trị của P = a^2020 + (b - 2)^2021 + (2c - 1)^2022, ta xem xét điều kiện đạt được giá trị tối ưu.

Từ phương trình (a - 1)^2 + (b - 1)^2 + 4(c - 0.5)^2 = 2, ta có thể có các trường hợp:

- a = 1, b = 1, c = 0.5 (điểm này sẽ giúp cho cả ba hạng tử đều đạt giá trị thấp nhất).

Ta thay các giá trị này vào trong P:

P = 1^2020 + (1 - 2)^2021 + (2*0.5 - 1)^2022
= 1 + (-1)^2021 + 0^2022
= 1 - 1 + 0
= 0

Do đó, giá trị của P = 0.