Chưng minh 3n+2 và 2n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau

Để chứng minh rằng 3n + 2 và 2n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau, ta cần chứng minh rằng ước số chung lớn nhất (UCLN) của chúng là 1.

Gọi a = 3n + 2 và b = 2n + 1. Ta sẽ dùng định lý Euclid về ước số chung nhất để chứng minh rằng UCLN(a, b) = 1.

1. Tính UCLN: Giả sử d là ước số chung của a và b. Điều này có nghĩa là d chia hết cho cả a và b.

2. Xây dựng hệ phương trình: Ta có:
- a = 3n + 2
- b = 2n + 1

3. Lấy b từ a:
- Từ b = 2n + 1, ta có: n = (b - 1) / 2
- Thay vào a:
a = 3((b - 1) / 2) + 2 = (3b - 3 + 4) / 2 = (3b + 1) / 2

4. Sử dụng phép chia:
- Từ b = 2n + 1, ta có b ≡ 1 (mod 2).
- Tương tự, a = 3n + 2 nên a ≡ 2 (mod 3).

5. Chứng minh UCLN: Nếu d là ước số chung của a và b, thì d cũng phải chia hết cho 3 và 2, nhưng ta biết:
- Nếu d chia hết cho 2 thì d phải là số chẵn, nhưng 2n + 1 là số lẻ (b đồ thị chia hết cho 2).
- Nếu d chia hết cho 3, d cũng phải chia hết cho a = 3n + 2. Xét trường hợp này, nếu n = 0, a = 2 (thì không chia hết), và nếu n > 0, d > 3.

6. Kết luận: Do đó, nếu d > 1, sẽ không có d nào chia hết cho cả 3n + 2 và 2n + 1 mà không vi phạm tính chất nguyên tố.

Vậy, UCLN(3n + 2, 2n + 1) = 1, có nghĩa là 3n + 2 và 2n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau.