Cho tam giác CDE vuông tại C (CD < CE). Phân giác góc DCE cắt DE tại I. Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với DE cắt CE và tia DC lần lượt tại H và K. a/ Chứng minh: Tam giác IHE đồng dạng với tam giác CDE

c/ Chứng minh tam giác IHD cân:

Để chứng minh tam giác IHD là tam giác cân, ta cần chứng minh hai cạnh IHK và ID bằng nhau.

1. Trong tam giác IHE, vì IH vuông góc với DE (theo tính chất của đường vuông góc) và D là điểm nằm trong tam giác, nên góc IHD và góc IDE sẽ là các góc phụ.
2. Do DE là cạnh đối diện với góc vuông tại C, nên DCE = 90 độ.
3. Khi đó, IHK và IDJ là những đường cao trong tam giác IHE. Vì IH vuông góc với DE, nên chúng ta có:

góc HIE = góc IDE = 90 độ
góc HDI = góc IDE

4. Bởi vậy, tam giác IHD là tam giác có hai cạnh IHD và ID bằng nhau.

Vì vậy, ta có IHD = ID, từ đó kết luận rằng tam giác IHD là tam giác cân.

d/ Chứng minh CM là phân giác góc EC:

Để chứng minh CM là phân giác góc EC, ta sẽ dùng định nghĩa của phân giác góc.

1. Gọi góc ECD có độ lớn là α. Chúng ta cần chứng minh rằng:
- Tỉ số hai đoạn thẳng CE và CD tỉ lệ với nhau.

2. Vì M nằm trên KE, nên có thể xét tỉ lệ giữa đoạn CM và đoạn ME:
- Theo định nghĩa phân giác góc, ta có:

CD / CE = CM / ME

3. Ngoài ra, vì IC là phân giác của góc DCE (theo giả thiết ban đầu), ta đã chứng minh mọi góc trong tam giác tương ứng với nhau.

4. Khi đó, có thể suy ra từ tỉ số này:

CD / CE = DI / DE

5. Kết hợp với các tương quan trong tam giác được tạo ra, ta có thể kết luận rằng M chia KE theo tỉ lệ của hai cạnh CE và CD, từ đó km là phân giác của góc ECD.

Do đó, chúng ta xác định được CM là phân giác góc EC.