Tìm số nguyên x để AB có giá trị nguyên A =$frac{2x + 4}{x}$ và B = $frac{2x - 3}{x - 1}$ +$frac{3 - x}{x^{2}- 1 }$

Để tìm số nguyên \( x \) sao cho \( AB \) có giá trị nguyên, trước tiên, ta cần tính giá trị của \( A \) và \( B \).

1. Tính giá trị của A:

\( A = \frac{2x + 4}{x} = \frac{2(x + 2)}{x} = 2 + \frac{4}{x} \).

Để \( A \) có giá trị nguyên, \( \frac{4}{x} \) cũng phải là số nguyên, tức là \( x \) phải là những ước số của 4. Các ước số nguyên của 4 là \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \).

2. Tính giá trị của B:

Đầu tiên, ta tách thành hai phần trong biểu thức cho \( B \):

\( B = \frac{2x - 3}{x - 1} + \frac{3 - x}{x^2 - 1} \).

Ta nhận thấy rằng \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \), vì vậy phần thứ hai của \( B \) có thể viết lại là:

\( \frac{3 - x}{(x - 1)(x + 1)} \).

Ta cần tìm mẫu số chung để tính tổng. Mẫu số chung là \( (x - 1)(x + 1) \):

\( B = \frac{(2x - 3)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} + \frac{3 - x}{(x - 1)(x + 1)} \).

Rút gọn, ta có:

\( B = \frac{(2x - 3)(x + 1) + (3 - x)}{(x - 1)(x + 1)} \).

Tính tử số:

\((2x - 3)(x + 1) = 2x^2 + 2x - 3x - 3 = 2x^2 - x - 3\)

Vậy tử số trở thành:

\(2x^2 - x - 3 + 3 - x = 2x^2 - 2x\).

Như vậy, \( B = \frac{2x^2 - 2x}{(x - 1)(x + 1)}\).

Ta nhận thấy rằng \( 2x^2 - 2x = 2x(x - 1) \) và do đó:

\( B = \frac{2x(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{2x}{x + 1}, \quad (x \neq 1) \).

3. Tính AB:

\( AB = A \cdot B = \left( 2 + \frac{4}{x} \right) \cdot \frac{2x}{x + 1} \).

Ta phân tích AB:

\( AB = 2 \cdot \frac{2x}{x + 1} + \frac{4}{x} \cdot \frac{2x}{x + 1} = \frac{4x}{x + 1} + \frac{8}{x + 1} = \frac{4x + 8}{x + 1} \).

Để \( AB \) có giá trị nguyên, tử số \( 4x + 8 \) phải chia hết cho mẫu số \( x + 1 \).

Giả thiết \( k \) là số nguyên sao cho \( 4x + 8 = k(x + 1) \).

Giải phương trình này:

\( 4x + 8 = kx + k \rightarrow (4 - k)x = k - 8 \).

Từ đây suy ra:

\( x = \frac{k - 8}{4 - k} \).

Để \( x \) là số nguyên, \( k - 8 \) phải chia hết cho \( 4 - k \).

Xét các giá trị nguyên của \( k \) và tìm các giá trị tương ứng của \( x \):

- Với \( k = 0 \): \( x = \frac{0 - 8}{4} = -2 \).
- Với \( k = 2 \): \( x = \frac{2 - 8}{4 - 2} = -3 \).
- Với \( k = 8 \): \( x = \frac{8 - 8}{4 - 8} = 0 \).

Các giá trị của \( x \) tìm được đều là những số nguyên. Bây giờ xét khả năng của \( x \) với các ước số của 4:

Ta cần kiểm tra các giá trị ước số của 4 đã kiểm tra ở đầu bài: \( \pm 1, \pm 2, \pm 4 \), có thể đưa vào công thức \( x = \frac{k - 8}{4 - k} \) kiểm tra từng trường hợp nếu thỏa mãn điều kiện nguyên.

Sau khi thử nghiệm các giá trị khác nhau, ta sẽ thấy rằng:

Giá trị thỏa mãn là \( x = -2, -3, 0 \), nhưng cần lưu ý không chọn giá trị tương ứng với việc mẫu số bằng 0.

Kết quả cuối cùng là giá trị nguyên \( x \) để \( AB \) có giá trị nguyên là:

\(-2 \text{ và } -3 \text{ thỏa điều kiện. }\)