Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). D là trung điểm của BC. Kẻ DE vuông góc với AB tại E và DF vuông góc với AC tại F. Chứng minh tứ giác AEDF là hình chữ nhật. b) Trên tia đối của tia FD lấy điểm G sao

a) Để chứng minh tứ giác AEDF là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện AE, DF và AD, EF lần lượt bằng nhau và vuông góc với nhau.

- Từ giả thiết, ta có AE vuông góc với AB và DF vuông góc với AC. Do đó, cả hai cạnh AE và DF đều vuông góc với AD (vì AD là trung tuyến trong tam giác vuông tại A).

- Để chứng minh AE = DF, chúng ta xem xét tam giác vuông ABE và tam giác vuông ADF. Vì D là trung điểm của BC nên BD = DC.

- Từ tam giác vuông ABE, ta có: AE = ABsin(∠BAE) và DF = ACsin(∠DAC). Bởi vì ∠BAE + ∠DAC = 90 độ (do tam giác vuông tại A), AE và DF có cùng chiều dài.

Như vậy, AEDF có các cạnh đối diện bằng nhau và vuông góc với nhau, nên tứ giác AEDF là hình chữ nhật.

b) Để chứng minh tứ giác ADCG là hình thoi, ta cần chứng minh rằng bốn cạnh của nó đều bằng nhau.

- Chúng ta biết rằng FD = FG (theo giả thiết). Hơn nữa, trong tứ giác ADCG, ta có:

- AD = AD (cạnh chung)
- DC: do D là trung điểm của BC, nên DC = AD.
- AG = AF (FG = FD = AF vì với AG = 2AF, và G là điểm tương ứng trên tia đối).

Do đó, tứ giác ADCG có bốn cạnh bằng nhau, tức là là hình thoi.

c) Để chứng minh tam giác AHI cân, ta sẽ chứng minh hai cạnh AH và AI bằng nhau.

- H là trung điểm của AD, tức là AH = HD. Vì HI = HF theo giả thiết, từ đó, ta có một hình chữ nhật AHID với AH=HD.

- Từ đó, HI = HF và AH là trung tuyến giữa H và I. Hai cạnh của tam giác AHI là AH và AI và đều bằng nhau.

Vì vậy, tam giác AHI là tam giác cân.