Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi D là trung điểm của BC. Trên tia AD lấy điểm N sao cho DN = DA. a) Chứng minh ABNC là hình chữ nhật. b) Trên tia AB lấy điểm E sao cho B là trung điểm của AE. Chứng minh

a) Ta sẽ chứng minh ABNC là hình chữ nhật.

Để chứng minh ABNC là hình chữ nhật, trước hết ta nhận thấy rằng tam giác ABC vuông tại A. Do đó, theo định nghĩa, góc A = 90 độ. Gọi D là trung điểm của BC, tức là BD = DC.

Xét tam giác ABD:
- Như đã biết, góc A = 90 độ.
- Vì D là trung điểm của BC, ta có BD = DC.

Tiếp theo, trên tia AD chúng ta có điểm N sao cho DN = DA. Từ đó, chúng ta có:
- DN = DA và AD là tia, nghĩa là N nằm trên tiếp tuyến của AD.

Ta sẽ chứng minh rằng 2 đường chéo AN và BC vuông góc với nhau. Để làm điều này, ta cần chỉ ra rằng góc ADN = 90 độ. Bởi vì DN = DA và tam giác DAN là tam giác vuông, cho nên góc AND cũng bằng 90 độ.

Khi kết hợp các điều này, ta có:
- AN vuông góc với AD.
- D nằm trên BC, nên BD = DC và do đó BC cũng là đường thẳng vuông góc với AD ở điểm D.

Từ đó, ta kết luận rằng ABNC là hình chữ nhật vì nó có 2 cặp cạnh đối diện song song và đều vuông góc với nhau.

b) Ta sẽ chứng minh BENC là hình bình hành.

Để chứng minh BENC là hình bình hành, trước tiên ta xét điểm E nằm trên tia AB sao cho B là trung điểm của AE. Điều này có nghĩa là AE = 2AB.

Ta có các điểm B, N, C, và E. Theo định nghĩa hình bình hành, ta cần chỉ ra rằng các cặp cạnh đối diện phải bằng nhau và song song.

1. Cạnh BN và EC:
Từ A đến B và B đến N, do BN = AD = DN. Theo giả thuyết AD = DN, chúng ta có thể nói BN = AN.
2. Cạnh BE và NC:
Vì B là trung điểm của AE, nên BE = BA.

Theo điều kiện của hình bình hành, để BENC trở thành hình bình hành, chúng ta cần các cạnh đối diện bằng nhau. Bằng cách áp dụng định lý về tam giác và sự phát triển của chiều dài cạnh, ta thấy:
- BE = NC.
- BN = EC.

Bởi vì cặp cạnh đối diện trong tứ giác có độ dài bằng nhau, ta kết luận rằng BENC là một hình bình hành.