Cho `x,y` là các số thực thỏa mãn `x+y=1` Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: `B=(x^2+4y)(y^2+4x)+8xy`

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = (x^2 + 4y)(y^2 + 4x) + 8xy với điều kiện x + y = 1, chúng ta có thể thực hiện theo các bước sau:

Đầu tiên, từ x + y = 1, ta có thể thay y bằng 1 - x. Do đó, chúng ta có thể viết lại B chỉ theo biến x:

B = (x^2 + 4(1 - x))((1 - x)^2 + 4x) + 8x(1 - x)

Bước tiếp theo, ta sẽ thay thế y vào B:

1. Thay y vào trong biểu thức B:
- x^2 + 4y = x^2 + 4(1 - x) = x^2 + 4 - 4x = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2
- y^2 + 4x = (1 - x)^2 + 4x = (1 - 2x + x^2) + 4x = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2

Khi đó, ta có B = ((x - 2)^2)((x + 1)^2) + 8x(1 - x).

2. Đặt t = x. Vậy, B trở thành:
B = ((t - 2)^2)((t + 1)^2) + 8t(1 - t).

3. Mở rộng biểu thức:
- ((t - 2)^2)((t + 1)^2) = (t^2 - 4t + 4)(t^2 + 2t + 1) = t^4 - 2t^3 - 2t^2 + 8t + 4.
- 8t(1 - t) = 8t - 8t^2.

Khi cộng lại, ta có:
B = t^4 - 2t^3 + 6t - 4.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của B, chúng ta sẽ tính đạo hàm của B theo t, sau đó giải phương trình đạo hàm bằng 0:

B' = 4t^3 - 6t^2 + 6.

Giải phương trình B' = 0 để tìm các điểm cực trị của B:

4t^3 - 6t^2 + 6 = 0.

Để giải phương trình này, có thể sử dụng phương pháp thử hoặc công cụ số, hoặc dùng phương pháp Cardano cho bậc 3. Nhưng trước tiên, ta có thể tìm nghiệm gần đúng để biết khoảng mà t có thể nằm trong khoảng [0, 1].

Sau khi nghiên cứu thêm hoặc sử dụng máy tính, ta có thể tìm được các nghiệm gần đúng hoặc tính toán giá trị của B cho các giá trị t = 0, 0.5, và 1, từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất.

Cuối cùng, để chắc chắn rằng chúng ta tìm được giá trị nhỏ nhất thực sự cho B, nên tính giá trị của B cho một số điểm trong khoảng [0, 1]:

- Với t = 0, B = 0.
- Với t = 0.5, B = ((0.5 - 2)^2)((0.5 + 1)^2) + 8(0.5)(0.5) = (2.25)(2.25) + 2 = 5.0625 + 2 = 7.0625.
- Với t = 1, B = (1 - 2)^2(2)^2 + 8(1)(0) = (1)(4) = 4.

Từ các giá trị trên, ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất của B xảy ra tại t = 0, và giá trị nhỏ nhất là 0.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 0.