Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a = -x^2 - y^2 + xy + 2x + 2y

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức a = -x^2 - y^2 + xy + 2x + 2y, ta có thể làm theo các bước sau:

1. Sắp xếp lại biểu thức: Ta có thể nhóm các hạng tử lại với nhau.
a = -x^2 - y^2 + xy + 2x + 2y = -x^2 + xy + 2x - y^2 + 2y.

2. Xem xét biểu thức như một hàm đa biến: Đây là một hàm bậc hai với hai biến x và y. Hàm này có thể viết lại như sau:
a = - (x^2 - xy - 2x) - (y^2 - 2y).

3. Tạo thành hình chữ nhật: Chúng ta có thể làm cho nguyên tố bậc 2 dễ quản lý hơn bằng các phép biến đổi khác nhau. Chúng ta chia thành hình chữ nhật như sau:

a = -(x^2 - xy + 2x) - (y^2 - 2y).
a = -[(x^2 - xy + 2x) + (y^2 - 2y)].

4. Tìm cực trị của hàm bậc 2: Để tối đa hóa a, ta sử dụng các đạo hàm riêng. Ta tính đạo hàm từng phần theo x và y và đặt chúng bằng 0 để tìm các điểm cực trị.

Đạo hàm riêng theo x:
∂a/∂x = -2x + y + 2 = 0 (1)

Đạo hàm riêng theo y:
∂a/∂y = -2y + x + 2 = 0 (2)

5. Giải hệ phương trình: Từ (1) và (2), ta có:

Từ (1): y = 2x - 2.
Thay vào (2):

-2y + x + 2 = 0 → -2(2x - 2) + x + 2 = 0
-4x + 4 + x + 2 = 0 → -3x + 6 = 0 → x = 2.

Thay x = 2 vào phương trình (1):
y = 2(2) - 2 = 2.

6. Tính giá trị của a tại (x, y) = (2, 2):
a = -2^2 - 2^2 + 22 + 22 = -4 - 4 + 4 + 4 = 0.

7. Kiểm tra giá trị lớn nhất: Để đảm bảo rằng đây là giá trị lớn nhất, ta cần xem xét dấu của định thức Hessian, hay dùng phương pháp đánh giá.

Tổ hợp của các bậc hai, chỉ có hai nghiệm thực, như vậy giá trị lớn nhất của a chính là 0.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức a = -x^2 - y^2 + xy + 2x + 2y là 0, xảy ra tại điểm (2, 2).