???????? ?????????????

a) Để chứng minh 4 điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh rằng góc MAB bằng góc MOB. Từ đó, ta sẽ chứng minh rằng tứ giác MOAB nội tiếp.

Trước tiên, ta nhận thấy rằng MB và MA là các tiếp tuyến tại các điểm A và B của đường tròn. Theo định lý góc giữa tiếp tuyến và dây cung, chúng ta có:

- Góc MAB là góc giữa tiếp tuyến MB và đoạn thẳng AB.
- Góc MOB là góc giữa tiếp tuyến MA và đoạn thẳng AB.

Vì hai đoạn thẳng MA và MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O; R), nên theo định lý về tiếp tuyến, chúng ta có:

Góc MAB = Góc MOB.

Điều này chứng tỏ rằng 4 điểm M, A, O, B cùng nằm trên một đường tròn vì tứ giác MOAB có thể được xem như tứ giác nội tiếp (có tổng các góc bù nhau).

b) Chứng minh rằng tam giác OIH đồng dạng với tam giác OMN:

Ta đã có OH là trung điểm của đoạn thẳng CD và OM là đường thẳng cắt AB tại N. Theo giả thuyết, OM = 2R. Chúng ta cũng biết rằng OI là đường cao từ O trong tam giác OIH, đồng thời ON là trung tuyến trong tam giác OMN.

Do đó, ta có:
- Cạnh OI tương ứng với OD trong tam giác O, I, H.
- Cạnh ON tương ứng với OM trong tam giác O, N, M.

Vì vậy, theo định lý đồng dạng, ta có:

OI / ON = OM / OM (1)

Mà từ giả thuyết, OM = 2R, thì từ đó ta có biểu thức:

OI / ON = 2R / R = 2

Từ đó, tam giác OIH đồng dạng với tam giác OMN (theo tiêu chí đồng dạng: có một cạnh tỷ lệ và các góc tương ứng bằng nhau).

c) Để chứng minh AB là tam giác đều, ta chỉ cần chứng minh rằng 3 cạnh của tam giác AB có độ dài bằng nhau.

Giả sử OM = 2R, từ giả thiết của bài toán, chúng ta có các điểm O, A, B hình thành một đường tròn với bán kính R.

Tại điểm A và B, do đó

OA = OB = R

Khi đó, từ định nghĩa về tam giác đều, chúng ta có:

AB = OA + OB = R + R = 2R

Tuy nhiên vì OM = 2R và O nằm ở quỹ đạo của đường tròn, ta thấy rằng ba đoạn OM, OA và OB bằng nhau. Do đấy, ta kết luận rằng ba cạnh OA, OB, AB đều bằng nhau, điều này chứng minh rằng tam giác AB là tam giác đều.