Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB<AC. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của AB và BC. Trên tia đối của tia NM lấy điểm D sao cho ND=NM.  a, Chứng minh  tứ giác BMCD là hình bình hành    b, Tứ giác AMDC

a. Để chứng minh tứ giác BMCD là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác này song song và bằng nhau.

1. Tính chất của trung điểm: M là trung điểm của AB, tức là AM = MB. N là trung điểm của BC, tức là NB = NC.

2. Xét các đoạn thẳng: Ta có ND = NM và D nằm trên tia đối của NM, do đó ND là đoạn thẳng có độ dài bằng với NM.

3. Xác định vị trí các điểm: Vì M và N là trung điểm nên:
- MB = MA
- NC = NB

4. Tính song song: Trong tam giác vuông ABC tại A, ta có:
- AN // BC (vì AB ⊥ AC)
- Do đó, NM // AC (vì N là trung điểm của BC, mà M là trung điểm của AB, và hai đoạn AM, NC sẽ song song).

5. Tính chất song song:
- Ta có BM // AC (vì BM là một cạnh của tứ giác).
- NM // BD (do NM là một cạnh và D được lấy trên tia đối NM).

6. Sử dụng định lý về các hình bình hành: Nếu một tứ giác có hai cặp cạnh đối diện song song, thì nó là hình bình hành. Từ các kết quả trên, ta có BM || DC và NM || BD, từ đó suy ra BMCD là hình bình hành.

b. Tứ giác AMDC là hình gì?

Tứ giác AMDC là một hình thang. Lý do là trong tam giác vuông ABC, AM ⊥ BC (vì AB và AC vuông góc với nhau).

1. Công thức xác định hình thang: Để tứ giác AMDC là hình thang, cần có ít nhất một cặp cạnh đối diện song song.
2. Xét vị trí các cạnh:
- AM là một cạnh thẳng đứng (song song hoặc vuông góc với BC).
- ND là đoạn thẳng từ N ra ngoài thông qua điểm D và NM có độ dài ND = NM, khiến cho đoạn thẳng này tạo thành một cặp cạnh AM và DC không song song nhưng AD lại song song với BC.

Vậy nên, AMDC là một hình thang vì có một cặp cạnh song song: AM và DC.