Làm giúp em c và d thôi ạEm cảm ơn

Để giải bài tập, ta sẽ thực hiện từng phần c và d như yêu cầu.

c) Tìm giá trị của biểu thức \( S = -x^2 - 2y^2 + 2xy + 2x + 2y \).

Để tìm giá trị cực tiểu hoặc cực đại của một hàm nhiều biến, ta có thể thực hiện theo bước sau:

1. Tính đạo hàm riêng:
- Tính \( \frac{\partial S}{\partial x} = -2x + 2y + 2 \)
- Tính \( \frac{\partial S}{\partial y} = -4y + 2x + 2 \)

2. Giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0:
- Từ \( \frac{\partial S}{\partial x} = 0 \):
\[
-2x + 2y + 2 = 0 \Rightarrow y = x - 1
\]

- Từ \( \frac{\partial S}{\partial y} = 0 \):
\[
-4y + 2x + 2 = 0 \Rightarrow 2x = 4y - 2 \Rightarrow x = 2y - 1
\]

3. Thay thế và giải:
- Thay \( y = x - 1 \) vào \( x = 2y - 1 \):
\[
x = 2(x - 1) - 1 \Rightarrow x = 2x - 2 - 1 \Rightarrow x = 3
\]
- Từ đó, \( y = 3 - 1 = 2 \).

4. Tính giá trị của S tại \( (x, y) = (3, 2) \):
\[
S(3, 2) = -3^2 - 2(2^2) + 2(3)(2) + 2(3) + 2(2)
\]
\[
S(3, 2) = -9 - 8 + 12 + 6 + 4 = 5
\]

Do đó, giá trị cực đại của \( S \) là 5.

d) Tìm giá trị cực đại của hàm \( M = 5x^2 + 2y^2 + 4xy - 2x + 4y + 2005 \) với điều kiện \( x + y + 4 = 0 \).

1. Thay thế:
Ta có từ \( x + y + 4 = 0 \) nên \( y = -x - 4 \).

2. Thay vào M:
\[
M = 5x^2 + 2(-x - 4)^2 + 4x(-x - 4) - 2x + 4(-x - 4) + 2005
\]
\[
M = 5x^2 + 2(x^2 + 8x + 16) - 4x^2 - 16x - 2x - 16 + 2005
\]
\[
= 5x^2 + 2x^2 + 16x + 32 - 4x^2 - 16x - 2x + 2005
\]
\[
= 3x^2 + 2021
\]

3. Tối ưu hóa:
Hàm \( M \) là một hàm bậc 2 theo \( x \) và có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a > 0 \) (3 > 0), do đó hàm này không có cực đại mà có cực tiểu.

4. Giá trị nhỏ nhất:
Giá trị nhỏ nhất đạt được khi \( x = 0 \) (vì hàm này có tính đối xứng và nhỏ nhất tại điểm giữa trong khoảng).
\[
M(0) = 3(0)^2 + 2021 = 2021.
\]

Do đó, giá trị tối đa của \( M \) là 2021.