giúp em bài này với em cần gấp ạ

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

\[ A = \frac{\sqrt{x} + 2024}{\sqrt{x} + 2023} \]

với \( x \geq 0 \), ta tiến hành các bước sau:

1. Xét giới hạn của biểu thức: Khi \( x = 0 \):
\[
A(0) = \frac{\sqrt{0} + 2024}{\sqrt{0} + 2023} = \frac{2024}{2023}
\]

2. Xét sự biến thiên của A: Để tìm cực trị, ta tính đạo hàm \( A' \):
\[
A = \frac{u}{v} \quad \text{với } u = \sqrt{x} + 2024, v = \sqrt{x} + 2023
\]
Sử dụng quy tắc đạo hàm thương:
\[
A' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
\]
Tính \( u' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) và \( v' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \):
\[
A' = \frac{(u'v - uv')}{v^2} = \frac{\left( \frac{1}{2\sqrt{x}} (\sqrt{x} + 2023) - (\sqrt{x} + 2024) \frac{1}{2\sqrt{x}} \right)}{(\sqrt{x}+2023)^2}
\]

3. Giải A' = 0: Nghĩa là cần giải phương trình trong tử số của đạo hàm, kết quả là tham số hóa hoặc xác định điều kiện khoảng tăng giảm của A.

4. Phân tích giới hạn khi \( x \to \infty \):
\[
A \to \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} = 1
\]
Khi đó, giá trị của A sẽ tiệm cận về 1.

5. So sánh các giá trị:
Ta có \( A(0) = \frac{2024}{2023} \approx 1.000493 \) (lớn hơn 1).
Khi \( x \to \infty \), A tiệm cận về 1.

6. Kết luận: Từ các phân tích trên, giá trị lớn nhất của A sẽ xảy ra ở \( x = 0 \):
\[
A \to \frac{2024}{2023}
\]

Vậy nên, giá trị lớn nhất của biểu thức là \( \frac{2024}{2023} \).