Cho ∆ ABC vuông tại A . Gọi K là trung điểm BC. Biết AB = 27cm, AC = 36cm.a) Tính AK.b) Vẽ KM // AB và KN // AC. Hỏi tứ giác AMKN là hình gì.c) Tính MN.d) Chứng minh MN // BK.e) Gọi O là trung điểm của

a) Để tính AK, trước tiên chúng ta cần xác định tọa độ của các điểm trong tam giác vuông ABC. Giả sử A(0, 0), B(27, 0) và C(0, 36). K là trung điểm của BC, vì vậy tọa độ của K sẽ là trung bình tọa độ B và C.

Tọa độ của K:
K(x, y) = ((xB + xC) / 2, (yB + yC) / 2) = ((27 + 0) / 2, (0 + 36) / 2) = (13.5, 18)

Bây giờ có thể tính AK theo công thức khoảng cách:
AK = √((xK - xA)² + (yK - yA)²) = √((13.5 - 0)² + (18 - 0)²) = √(182.25 + 324) = √506.25 = 22.5 cm.

b) Vì KM // AB và KN // AC, nên tứ giác AMKN là hình bình hành. Điều này là do hai cặp cạnh đối diện của tứ giác vừa được chỉ ra là song song.

c) Để tính MN, do KM // AB và KN // AC, tức là KN là chiều cao từ K xuống AB. Theo định lý Pythagore trong tam giác AKM, ta có:

AM = AK = 22.5 cm
BM = 27 - 13.5 = 13.5 cm

Do đó, MN = AK = 22.5 cm.

d) Để chứng minh MN // BK, ta có:
- KH là chiều cao từ K xuống cạnh AB (điểm M).
- BK là đoạn thẳng nối từ B đến K.
Vì chúng đều nằm trên một đường song song với AB (KM // AB), nên MN và BK cũng sẽ là song song.

e) Để chứng minh M, O, B thẳng hàng, bởi vì O là trung điểm của KN và KN // AC. Ta có thể thấy M và N nằm trên đường thẳng KM, trong khi O nằm trên đường thẳng KN. Do O là trung điểm của KN và hàng M, O, B đều nằm cùng một đường thẳng của các đường song song, nên M, O, B đồng thẳng hàng.

f) Để chứng minh NA = NB:
- Triển khai từ tam giác vuông tại A, vì K là trung điểm BC, do đó trung điểm này sẽ giúp cả NA = NB thông qua kết nối giữa điểm giữa K và các đoạn thẳng từ A đến B và C. Từ đây áp dụng quy tắc Pythagore có thể thấy khoảng cách từ A đến K vuông góc với đoạn thẳng hạ từ B và K, đồng thời vì K là trung điểm nên kéo dài từ K về phía B và C cũng giống nhau, dẫn đến việc NA = NB.