Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>2AB) đường cao AH

a. Để chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA, ta xem xét các yếu tố của hai tam giác này.

Tam giác ABC là tam giác vuông tại A, tức là góc CAB = 90 độ. Đường cao AH tạo ra hai tam giác khác là AHB và AHC. Theo định lý đồng dạng, nếu hai tam giác có góc tương ứng bằng nhau thì chúng đồng dạng.

Góc HBA là góc giữa cạnh HB (một cạnh của tam giác AHB) và đường cao AH. Từ đó, chúng ta có:
- Góc CAB = Góc HBA (đều là góc giữa cạnh và đường cao).
- Góc AHB = Góc ACB (cùng tạo bởi cạnh AH và cạnh AC).

Do đó, với góc CAB = góc HBA và góc ABC = góc AHB, ta có thể kết luận rằng tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA qua lý thuyết đồng dạng tam giác.

b. Để chứng minh HA.AC = HC.AB, ta sử dụng tính chất của hình chữ nhật và các đoạn thẳng.

Từ tam giác vuông ABC, theo định lý đường cao, chúng ta có:

HA là đường cao từ A xuống cạnh BC, tức là AH vuông góc với BC. Bên cạnh đó, ta có:

AC là cạnh huyền của tam giác vuông ABC, và HC là phần còn lại của BC, có thể hiểu là đoạn thẳng từ H đến C.

Tính chất của tam giác vuông cho thấy rằng:
- Sản phẩm của cạnh huyền AC với chiều cao AH từ A xuống BC bằng sản phẩm của đoạn thẳng HC và cạnh góc vuông bên cạnh là AB.

Vì vậy, theo tính chất về tỉ lệ trong tam giác vuông, ta có:

HA AC = HC AB

c. Để chứng minh tỉ số KE/KD không phụ thuộc vào cách chọn điểm D và E, ta sẽ tiến hành phân tích hình học một cách tổng quát.

Điểm D nằm trên cạnh AB và điểm E nằm trên cạnh AC sao cho BD = CE. Tia DE cắt BC tại K.

Chúng ta có thể nhận thấy rằng, vì BD = CE, điều này tạo ra mối liên hệ về chiều cao và cạnh bên trong tam giác ABC.

Khi điểm D và E di chuyển nhưng vẫn giữ BD = CE, các tam giác tạo thành bởi DE và BC vẫn có các cạnh tỷ lệ với nhau. Điều này dẫn đến việc tỉ số KE/KD không thay đổi, vì tỉ lệ chiều dài của các cạnh tương ứng vẫn được bảo toàn trong cùng một cấu trúc hình học.

Rõ ràng, việc chọn D và E ở vị trí khác nhưng vẫn đảm bảo BD = CE chỉ thay đổi tỷ lệ nhưng không làm thay đổi tỉ số KE/KD. Do đó, tỉ số này không phụ thuộc vào cách chọn điểm D và E.