Tìm GTNN : F = 2x^2 + 2y^2 + z^2 + 2xy - 2xz - 2yz - 2x - 4y

Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm F = 2x^2 + 2y^2 + z^2 + 2xy - 2xz - 2yz - 2x - 4y, ta có thể xem xét hàm này như một hàm đa biến trong không gian các biến x, y, z.

Bước đầu tiên là tính đạo hàm từng phần của hàm F theo từng biến để tìm các điểm cực trị.

1. Đạo hàm theo x:
∂F/∂x = 4x + 2y - 2z - 2

2. Đạo hàm theo y:
∂F/∂y = 4y + 2x - 2z - 4

3. Đạo hàm theo z:
∂F/∂z = 2z - 2x - 2y

Đặt các đạo hàm này bằng 0 để tìm các điểm cực trị:

4x + 2y - 2z - 2 = 0 ----(1)
4y + 2x - 2z - 4 = 0 ----(2)
2z - 2x - 2y = 0 ----(3)

Từ (3), ta có:
2z = 2x + 2y
=> z = x + y

Thay giá trị của z vào (1) và (2):

Thay vào (1):
4x + 2y - 2(x + y) - 2 = 0
=> 4x + 2y - 2x - 2y - 2 = 0
=> 2x - y - 2 = 0
=> y = 2x - 2 ----(4)

Thay vào (2):
4y + 2x - 2(x + y) - 4 = 0
=> 4y + 2x - 2x - 2y - 4 = 0
=> 2y - 4 = 0
=> y = 2

Thay y = 2 vào (4):
2 = 2x - 2
=> 2x = 4
=> x = 2

Cũng đã có phương trình z = x + y:
z = 2 + 2 = 4

Vậy các điểm cực trị mà ta tìm được là (x, y, z) = (2, 2, 4).

Cuối cùng, ta tính giá trị của F tại điểm cực trị này:
F(2, 2, 4) = 2(2^2) + 2(2^2) + 4^2 + 2(2)(2) - 2(2)(4) - 2(2)(4) - 2(2) - 4(2)
= 2(4) + 2(4) + 16 + 8 - 16 - 16 - 4 - 8
= 8 + 8 + 16 + 8 - 16 - 16 - 4 - 8
= 8 + 8 + 16 - 16 - 16 - 4 - 8
= 16 - 16 - 4
= -4

Vậy giá trị nhỏ nhất của F là -4 tại điểm (2, 2, 4).