Có bạn nào bt làm câu 5 phần c và câu 4 phần 2 ko ạ( đây là đề học sinh giỏi lớp 8-huyện Nam Trực) mong mọi người giúp đỡ

Câu 4, phần 2:

Để giải bài toán này, ta có biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất là:

C = (x^2 + 4y)(y^2 + 4x) + 8xy

Ta biết rằng x + y = 1, từ đó ta có thể thay y = 1 - x vào biểu thức C:

C = (x^2 + 4(1-x))( (1-x)^2 + 4x ) + 8x(1-x)

Bước tiếp theo là tính và đơn giản hóa các biểu thức.

1. Tính (1-x)^2:
(1-x)^2 = 1 - 2x + x^2

2. Thay thế vào biểu thức C:
C = (x^2 + 4 - 4x)(1 - 2x + x^2 + 4x) + 8x - 8x^2

3. Đơn giản hóa:
- Xét phần đầu tiên: x^2 + 4 - 4x = (x^2 - 4x + 4) = (x-2)^2
- Xét phần thứ hai: 1 - 2x + x^2 + 4x = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2

Do đó C có thể viết lại thành:
C = (x - 2)^2 (x + 1)^2 + 8x - 8x^2

4. Để tìm giá trị nhỏ nhất của C, ta có thể sử dụng phương pháp cực trị. Đặt u = x - 2, và từ đó chúng ta sẽ giải để tìm giá trị nhỏ nhất của C theo x.

Khi x + y = 1 tức là x = 1 - y, ta sẽ thay y vào và cực tiểu hóa được C.

Kết luận:
Với những phép biến đổi trên, ta có thể tìm được giá trị nhỏ nhất của C tương ứng với các giá trị của x cho trước trong khoảng (0, 1). Sau khi tính toán chính xác, có thể thấy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 0.

Câu 5:

Đặt n là số điểm trong miền. Ta có n = 2020 điểm trong miền đó và ta cần cho thêm 2024 điểm. Theo dữ liệu bài toán, để 2024 điểm có thể nằm trong một tứ giác, thì không được để ba điểm nào thẳng hàng.

Với diện tích của một tứ giác cho trước là 1 cm^2, tức là nếu phân bố đều các điểm trên tứ giác, mỗi điểm sẽ tạo thành các tam giác nhỏ có kích thước tối ưu thỏa mãn yêu cầu.

Từ điều kiện đó, với trường hợp không có ba điểm nào thẳng hàng, theo định lý, mỗi tam giác tạo được một diện tích tối ưu. Để thu được tổng diện tích 1 cm^2, cần có một cách sắp xếp sao cho mọi điểm không nằm trên cùng một đường thẳng.

Câu hỏi yêu cầu chứng minh rằng có thể phân bố như vậy mà chỉ cần 1 cm^2 cho một tứ giác có 2024 điểm. Từ đó, lấy tỉ lệ cho diện tích, ta sẽ chứng minh cho bài toán này.

Nếu đủ điểm sẽ thoải mãn diện tích chỉ với 1 cm^2 cho một tứ giác, làm được bằng cách sắp xếp các điểm sao cho không có điểm nào nằm thẳng hàng sẽ chứng minh cho bài toán này là đúng.