Giúp mình câu 3 nha mình cảm ơn nhiều

Để giải bài toán này, ta cần tính giới hạn của dãy số \( u_n \) như sau:

\[ u_n = \frac{4^{2n} - 2 \cdot 3^{n^2}}{9 + 3^{n+1}} \]

Bước đầu tiên là nhận biết các thành phần trong tử số và mẫu số.

Tử số gồm \( 4^{2n} \) và \( -2 \cdot 3^{n^2} \). Chúng ta có thể viết lại \( 4^{2n} \) dưới dạng:

\[ 4^{2n} = (2^2)^{2n} = 2^{4n} \]

Mẫu số là \( 9 + 3^{n + 1} \), mà có thể viết là:

\[ 9 + 3^{n + 1} = 9 + 3 \cdot 3^n = 9 + 3^{n+1} \]

Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét sự tăng trưởng của các thành phần. Thực tế thì \( 3^{n^2} \) sẽ tăng nhanh hơn \( 4^{2n} \) vì \( n^2 \) lớn hơn \( 2n \) khi \( n \) đủ lớn. Điều này có nghĩa là trong tử số, thành phần \( -2 \cdot 3^{n^2} \) sẽ chi phối.

Do đó, ta có thể viết giới hạn như sau:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{4^{2n} - 2 \cdot 3^{n^2}}{9 + 3^{n+1}} \]

Với phép biến đổi, ta sẽ chú ý đến sự chi phối của \( 3^{n^2} \) trong tử số và \( 3^{n+1} \) trong mẫu số:

Khi \( n \to \infty \), ta có:

\[ u_n \approx \frac{-2 \cdot 3^{n^2}}{3^{n+1}} = -\frac{2}{3} \cdot 3^{n^2 - (n + 1)} \]

Bây giờ, tính toán biểu thức exponent:

\[ n^2 - n - 1 \]

Khi \( n \to \infty \), \( n^2 - n - 1 \to \infty \). Điều này có nghĩa là \( 3^{n^2 - n - 1} \to \infty \).

Vì thế, giới hạn sẽ trở thành:

\[ \lim_{n \to \infty} u_n = -\infty \]

Tổng kết lại, giới hạn này không bị giới hạn, tức là:

Giới hạn của dãy số \( u_n \) là \( -\infty \).