` 4n+7 vdots 2n+1` `----` `(2n+7) vdots n-2`

Để giải quyết bài toán này, ta cần xem xét các điều kiện chia cho nhau trong hai biểu thức đã cho: `4n + 7` và `2n + 1`, sau đó là biểu thức `(2n + 7)` và `n - 2`.

1. Xét phần đầu tiên: `4n + 7 \vdots 2n + 1`.

Tức là, ta cần kiểm tra xem `4n + 7` có chia hết cho `2n + 1` hay không. Để làm điều này, ta sẽ thực hiện phép chia `4n + 7` cho `2n + 1`.

Ta viết:

4n + 7 = k(2n + 1) với k là một số nguyên.

Áp dụng phép chia, ta có:

k(2n + 1) = 4n + 7

Rút gọn:

2kn + k = 4n + 7

Để hai vế bằng nhau, ta so sánh hệ số của n và hằng số:

2k = 4 → k = 2.

Và:

k = 7 → không có k nào thỏa mãn cả hai phương trình này cùng lúc. Do vậy, `k` không phải là một số nguyên trong trường hợp này, nghĩa là không thể tồn tại một số nguyên `k` sao cho `4n + 7` chia hết cho `2n + 1`.

Kết luận: `4n + 7 \vdots 2n + 1` không đúng.

2. Xét phần thứ hai: `(2n + 7) \vdots (n - 2)`.

Tương tự như vậy, ta cần kiểm tra xem `2n + 7` có chia hết cho `n - 2` hay không.

Khi đó, ta thực hiện phép chia:

2n + 7 = m(n - 2) với m là một số nguyên.

Viết lại phương trình:

m(n - 2) = 2n + 7

Rút gọn:

mn - 2m = 2n + 7.

Từ đó, ta có:

mn - 2n = 2m + 7,

(n(m - 2) = 2m + 7).

Để chia hết, ta sẽ cần `(n(m - 2))` và `(2m + 7)` có cùng giá trị nào đó cho giá trị của n. Tuy nhiên, không thể đưa ra những giá trị cụ thể mà giúp cho việc chia được dương (và là số nguyên).

Nếu xét các giá trị cụ thể cho `n`, sẽ có một số giá trị chia hết nhưng không tổng quát cho tất cả các giá trị của `n`. Điều này cho thấy bài toán không có lời giải tổng quát.

Kết luận: `(2n + 7) \vdots (n - 2)` cũng không đúng cho các giá trị tổng quát của `n`.

Cuối cùng, cả hai điều kiện đều không đúng cho các biểu thức đã cho trong bài toán này.