Chứng minh rằng 48^55 - 4 x 48^54 chia hết cho 2^118

Để chứng minh rằng \( 48^{55} - 4 \times 48^{54} \) chia hết cho \( 2^{118} \), chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách đơn giản hóa biểu thức này.

Đầu tiên, nhận thấy rằng:

\[
48^{55} - 4 \times 48^{54} = 48^{54} (48 - 4) = 48^{54} \times 44
\]

Tiếp theo, chúng ta cần phân tích các yếu tố trong biểu thức này. Ta biết rằng:

\[
48 = 16 \times 3 = 2^4 \times 3
\]

Do đó \( 48^{54} \) có thể được viết như sau:

\[
48^{54} = (2^4 \times 3)^{54} = 2^{216} \times 3^{54}
\]

Ta bỏ qua yếu tố \( 3^{54} \) vì nó không ảnh hưởng đến tính chia hết của biểu thức bởi \( 2^{118} \) không liên quan đến 3. Giờ ta tập trung vào yếu tố \( 2^{216} \).

Bây giờ, tính số mũ của 2 trong \( 44 \):

\[
44 = 4 \times 11 = 2^2 \times 11
\]

Từ đó, \( 44 \) có \( 2^2 \). Các yếu tố trong biểu thức đã đơn giản được viết lại như sau:

\[
48^{54} \times 44 = (2^{216} \times 3^{54}) \times (2^2 \times 11) = 2^{218} \times 3^{54} \times 11
\]

Ta có \( 2^{218} \) là số mũ của \( 2 \) trong toàn bộ biểu thức. Để xét tính chia hết, chúng ta cần so sánh số mũ của 2 trong biểu thức với số mũ của 2 trong \( 2^{118} \).

Rõ ràng là:

\[
218 > 118
\]

Điều này có nghĩa là \( 2^{218} \) chia hết cho \( 2^{118} \).

Vì vậy, ta đã chứng minh được rằng:

\[
48^{55} - 4 \times 48^{54} \text{ chia hết cho } 2^{118}.
\]