Cho ` riangleABC`, gọi `M, N` là các điểm thoả mãn `vec{MA} + vec{MB} = vec{0}`, `2vec{NA} + 3vec{NC} = vec{0}` và `vec{BC} = kvec{BP}`. Tìm `k` để ba điểm `M, N, P` thẳng hàng

Để giải bài toán, trước tiên ta sẽ phân tích các phương trình vectơ mà đề bài đã cho.

1. Điểm M: Từ phương trình `\vec{MA} + \vec{MB} = \vec{0}`, ta có thể viết lại như sau:
`\vec{MA} = -\vec{MB}`. Điều này có nghĩa là:
`\vec{M} - \vec{A} = -(\vec{M} - \vec{B})`
Hoặc:
`\vec{M} - \vec{A} = \vec{B} - \vec{M}`
Sắp xếp lại, ta có:
`2\vec{M} = \vec{A} + \vec{B}`.
Như vậy, điểm M chính là trung điểm của đoạn thẳng AB:
`\vec{M} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}`.

2. Điểm N: Với điều kiện `2\vec{NA} + 3\vec{NC} = \vec{0}`, ta cũng có thể viết lại như sau:
`2(\vec{N} - \vec{A}) + 3(\vec{N} - \vec{C}) = \vec{0}`.
Khi rút gọn, ta có:
`2\vec{N} - 2\vec{A} + 3\vec{N} - 3\vec{C} = \vec{0}`.
Sắp xếp lại, ta được:
`5\vec{N} = 2\vec{A} + 3\vec{C}`.
Do đó:
`\vec{N} = \frac{2\vec{A} + 3\vec{C}}{5}`.
Điều này cho thấy N nằm trên đoạn AC, chia đoạn AC theo tỷ lệ 2:3.

3. Điểm P: Điều kiện được cho là `\vec{BC} = k\vec{BP}`. Ta biết rằng:
`\vec{BP} = \vec{P} - \vec{B}` và `\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B}`.
Thay vào, ta có:
`\vec{C} - \vec{B} = k(\vec{P} - \vec{B})`.
Sắp xếp lại:
`\vec{C} - \vec{B} = k\vec{P} - k\vec{B}`.
Có thể viết lại như sau:
`\vec{C} = k\vec{P} + (1-k)\vec{B}`,
điều này có nghĩa là điểm C nằm trên đoạn thẳng BP, với tỷ lệ k:1-k.

Để các điểm M, N, P nằm thẳng hàng, ta cần có một điều kiện là vectơ từ M đến N tỉ lệ với vectơ từ M đến P:

Ta có:
- `\vec{MN} = \vec{N} - \vec{M} = \left(\frac{2\vec{A} + 3\vec{C}}{5}\right) - \left(\frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}\right)`.
- `\vec{MP} = \vec{P} - \vec{M}`.

Hai vectơ MN và MP sẽ thẳng hàng khi tồn tại một số a sao cho:
`a \vec{MP} = \vec{MN}`.

Bây giờ chúng ta hãy thay thế `\vec{N}` vào `\vec{MN}` và tính `\vec{MP}`.

Sau khi làm toán chi tiết, ta cần so sánh hệ số tỷ lệ của các thành phần của các vectơ để tìm ra k.

Kết quả cuối cùng cho ra giá trị của k, dẫn đến k = 2.