Câu 3. Trong không gian Oxyz cho ba điểm: A(1; 2; -1) B(0;1;2); C(- 1; 3; 1) và mặt phẳng (a): 12x - 3y + 4z - l = 0 - Xét điểm M tùy ý thuộc mặt phẳng (a),a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Để giải bài toán trên, trước tiên chúng ta cần xác định điểm M thuộc mặt phẳng (a): 12x - 3y + 4z - l = 0. Ta sẽ lần lượt giải từng phần a) và b).

### a) Giải biểu thức P = |5MA - 6MB + 2MC|

1. Tính độ dài các đoạn thẳng:
- MA, MB, MC sẽ được tính theo công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian:
MA = sqrt((x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2)
MB = sqrt((x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2)
MC = sqrt((x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 1)^2)

2. Sử dụng mặt phẳng để biểu diễn M:
- Ta có thể sử dụng một tham số để biểu diễn M thuộc mặt phẳng. Ví dụ, chúng ta có thể viết z theo x và y từ phương trình mặt phẳng. Giả sử z = (l - 12x + 3y) / 4. Sau đó, ta sẽ thay thế z trong các công thức giãn cách để tìm MA, MB, MC.

3. Tính giá trị P:
- Thay thế MA, MB, MC vào công thức P, tìm giá trị cực tiểu của P = |5MA - 6MB + 2MC|. Ta sẽ cần một số công cụ tối ưu hóa (có thể dựa vào phương pháp vi phân hoặc sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz).

4. Tìm giá trị nhỏ nhất:
- Đặt 5MA - 6MB + 2MC = 0 sẽ cho ra một hệ phương trình, từ đó giải để tìm điểm M mà P đạt giá trị nhỏ nhất.

### b) Giải biểu thức Q = 3MA^2 + 4MB^2 - 6MC^2

1. Sử dụng lại độ dài của MA, MB, MC như đã tính ở phần a).

2. Viết lại Q:
- Q = 3((x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2) + 4((x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (z - 2)^2) - 6((x + 1)^2 + (y - 3)^2 + (z - 1)^2)

3. Thay thế z:
- Tương tự như phần a), ta sẽ dùng biểu thức z đã tìm được để thay thế vào Q để có một biểu thức phụ thuộc vào x và y.

4. Tìm giá trị nhỏ nhất:
- Tính đạo hàm riêng của Q theo x và y, từ đó giải hệ phương trình để tìm giá trị cực tiểu.

### Kết luận:
Cuối cùng, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức P và Q sẽ được tính cụ thể bằng cách sử dụng các phương pháp trên và giải hệ phương trình cho các giá trị x, y, z thoả mãn mặt phẳng đã cho.

Lưu ý rằng để có kết quả chính xác nhất, nên giảm thiểu mọi biểu thức và tối ưu hóa từng bước cẩn thận.