Cho ∆ABC cân tại A. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. a) Chứng minh tứ giác BCED là hình thang cân b) Kẻ trung tuyến AH. Chứng minh tứ giác DECH là hình bình hành? c) Lấy điểm F sao cho E

a) Để chứng minh tứ giác BCED là hình thang cân, chúng ta cần chứng minh rằng hai cạnh bên BC và DE song song và bằng nhau.

- Trong tam giác cân ABC, do A là đỉnh của tam giác, nên AB = AC.
- D và E là trung điểm của AB và AC, tương ứng. Khi đó, theo định nghĩa trung điểm, ta có AD = DB và AE = EC.
- Bây giờ, nhìn vào tứ giác BCED, ta có hai đoạn thẳng DE và BC. Để chứng minh chúng song song, ta có thể sử dụng định lý về đường trung bình trong tam giác:

DE = 1/2 BC (vì DE là trung bình của hai cạnh AB và AC)
Như vậy, DE song song với BC (theo định nghĩa đường trung bình).
Và vì BC = DE nên tứ giác BCED là hình thang cân.

b) Để chứng minh tứ giác DECH là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh rằng các cạnh đối diện DE và CH, và DC và EH bằng nhau.

- DE là trung tuyến là nối liền giữa hai điểm D và E, do đó DE song song với AC.
- H là trung điểm của BC (vì AH là trung tuyến).
- Do đó, EH = 1/2 BC đúng với DE, mà chúng ta đã chứng minh ở phần trước và CH cũng song song với AC.
- Mặt khác, nếu DE song song với CH, và DC song song với EH, thì tứ giác DECH sẽ là hình bình hành.

c) Để chứng minh MN vuông góc với BC, chúng ta xem độ dốc của các đường thẳng:

- AE cắt DF tại M và HE cắt DC tại N.
- Theo tính chất của các đoạn trung tuyến trong tam giác cân, các tam giác AME và ANH sẽ có các đặc điểm đối xứng.
- Khi đó, MN, từ cách chọn điểm F sao cho E là trung điểm của HF, sẽ tạo thành một tứ giác đối xứng với trục đối xứng là đường BC.
- Do đó, ta có thể chứng minh rằng góc AMN và BCA đều bằng nhau, và khi đó chúng ta sẽ có MN vuông góc với BC.