tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 12,18,23 được số dư theo thứ tự là 11,17,9 giải thick nua nha !!

Chúng ta cần tìm số tự nhiên nhỏ nhất x mà khi chia cho 12, 18, 23 sẽ thu được các số dư lần lượt là 11, 17, 9.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng định lý đồng dư.

Ta có:
1. x ≡ 11 (mod 12)
2. x ≡ 17 (mod 18)
3. x ≡ 9 (mod 23)

Bước 1: Chuyển đổi các phương trình đồng dư sang dạng bắt đầu từ 0:

1. x = 12k + 11 với k là số nguyên.
2. x = 18m + 17 với m là số nguyên.
3. x = 23n + 9 với n là số nguyên.

Bước 2: Từ phương trình đầu tiên, ta có thể thay vào phương trình thứ hai:

12k + 11 ≡ 17 (mod 18)

Giải phương trình:

12k + 11 - 17 ≡ 0 (mod 18)
=> 12k - 6 ≡ 0 (mod 18)
=> 12k ≡ 6 (mod 18)

Chia cả hai vế cho 6, ta được:

2k ≡ 1 (mod 3)

Bây giờ, ta cần tìm k:

Tìm số k sao cho 2k có số dư là 1 khi chia cho 3. Chúng ta thử các giá trị:

- k = 0: 2*0 mod 3 = 0
- k = 1: 2*1 mod 3 = 2
- k = 2: 2*2 mod 3 = 1 ⇒ k ≡ 2 (mod 3)

Do đó, k có dạng:

k = 3t + 2 với t là số nguyên.

Bây giờ, ta thay k vào phương trình của x:

x = 12(3t + 2) + 11 = 36t + 24 + 11 = 36t + 35

Bước 3: Thay x vào phương trình thứ ba:

36t + 35 ≡ 9 (mod 23)

Giải phương trình này:

36t + 35 - 9 ≡ 0 (mod 23)

=> 36t + 26 ≡ 0 (mod 23)

Giảm bậc đi 23:

36 mod 23 ≡ 13, 26 mod 23 ≡ 3

Do đó,

13t + 3 ≡ 0 (mod 23)

Từ đây,

13t ≡ -3 (mod 23)
=> 13t ≡ 20 (mod 23)

Bước 4: Tìm nghịch đảo của 13 mod 23.

Ta sử dụng giải thuật Euclid mở rộng. Trong trường hợp này, 13 và 23 nguyên tố cùng nhau, nên tồn tại nghịch đảo. Sau tính toán, ta tìm được nghịch đảo của 13 mod 23 là 16.

Nhân cả hai vế với 16:

t ≡ 16 * 20 mod 23
=> t ≡ 320 mod 23
=> t ≡ 4 mod 23

Vậy t có dạng:

t = 23s + 4 với s là số nguyên.

Bước 5: Thay t vào phương trình x:

x = 36(23s + 4) + 35
=> x = 828s + 144 + 35
=> x = 828s + 179

Để tìm số tự nhiên nhỏ nhất, ta để s = 0:

x = 179.

Do đó, số tự nhiên nhỏ nhất mà khi chia cho 12, 18, 23 thu được các số dư 11, 17, 9 lần lượt là 179.