Hi, Cho điểm `P` bất kì trong `Delta ABC.` Chứng minh rằng, nếu `S_(APB) = S_(APC)` thì `AP` đi qua trung điểm của `BC.`

Chứng minh điều này bằng cách sử dụng diện tích của tam giác và tính chất của điểm P.

Giả sử S_(APB) là diện tích của tam giác APB và S_(APC) là diện tích của tam giác APC.

Ta có giả thiết là S_(APB) = S_(APC).

Diện tích của tam giác APB và APD được tính bằng công thức:

S_(APB) = (1/2) AB h1,
S_(APC) = (1/2) AC h2,

trong đó h1 và h2 là độ cao từ điểm P xuống cạnh AB và AC tương ứng.

Vì S_(APB) = S_(APC), ta có:

(1/2) AB h1 = (1/2) AC h2.

Rút gọn đi (1/2), ta được:

AB h1 = AC h2.

Điều này có nghĩa là tỉ lệ giữa các độ cao h1 và h2 tương ứng với tỉ lệ cạnh AB và AC.

Nếu điểm P nằm trên đường trung bình của cạnh BC, thì độ cao từ điểm P đến các cạnh AB và AC sẽ bằng nhau khi điểm P là trung điểm của BC. Khi ấy, h1 = h2.

Do đó, khi S_(APB) = S_(APC), điều này chứng minh rằng điểm P nằm trên đường trung bình của cạnh BC, tức là AP đi qua trung điểm của BC.

Vậy điều cần chứng minh đã được xác định.