cho tam giác ABC. trên tia đối của tia BC lấy điểm Dsao cho BD=AB. trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=AC. gọi H là chân đường vuông góc kể từ Bđến AD, K là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AE a) chứng

a) Để chứng minh rằng HK song song với DE, ta sẽ sử dụng tính chất của các cạnh tam giác và các góc tương ứng.

1. Đầu tiên, lưu ý rằng BD = AB và CE = AC do cách chọn điểm D và E theo định nghĩa của đề bài.
2. Xét tam giác ABD và tam giác ACE. Ta có:
- Trong tam giác ABD, BH vuông góc với AD.
- Trong tam giác ACE, CK vuông góc với AE.

3. Vì BD = AB nên góc ADB bằng góc DBA.
4. Tương tự, cũng bởi CE = AC, góc AEC sẽ bằng góc CAE.

Do đó, ta sẽ có các cặp góc tương ứng:
- Góc BHC = góc ADB = góc DBA.
- Góc KCE = góc AEC = góc CAE.

Như vậy, hai cặp góc tương ứng của hai tam giác này bằng nhau dẫn đến HK song song với DE, theo tính chất của các đường thẳng song song.

b) Để tính HK, trước hết ta sẽ xem xét chu vi tam giác ABC:
- Chu vi ABC là tổng độ dài ba cạnh AB + BC + CA = 10 cm.

Bên cạnh đó, ta có các mối quan hệ:
- BD = AB, CE = AC sẽ dẫn đến việc độ dài các đoạn này tỉ lệ với chiều cao HK.
- Ta áp dụng định lý Pitago hoặc tỉ lệ của các cạnh song song để tính HK, nhưng cần xác định thêm độ dài BC. Đặt x là độ dài BC.

Do đó, ta có AB + x + AC = 10. Khi chúng ta tìm được độ dài BC, chiều cao HK sẽ được tính thông qua tỉ lệ và các đoạn vuông góc tương ứng từ B và C.

Ví dụ, nếu chúng ta giả định AB = 3 cm và AC = 4 cm thì BC = 10 - 3 - 4 = 3 cm. Từ đó, ta sẽ sử dụng tỉ lệ chiều cao từ cả hai tam giác ABD và ACE để xác định HK.

c) Về việc vẽ phân giác AP của tam giác ABC và chứng minh PB/PC = PD/PE:

- Phân giác AP chia tam giác ABC thành hai tam giác ABE và ACD.
- Theo định lý phân giác, tỉ lệ chiều dài hai cạnh kề sẽ tỷ lệ với các cạnh đối diện.

Cụ thể:
- PB/PC = AB/AC
- PD/PE = BD/CE

Và từ đó ta có:
- BD = AB, CE = AC nên PB/PC = PD/PE.

Điều này chứng tỏ rằng tỉ lệ hai đoạn thẳng PB và PC cũng sẽ bằng tỉ lệ giữa PD và PE. Từ đó, với các tỉ số trên, suy ra PB/PC = PD/PE cho yêu cầu của đề bài.