Cho hình bình hành ABCD , O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Gọi M là trung điểm CD . K là giao điểm AM với BC a) Chứng minh MO là đường trung bình của tam giác CAD b)Chứng minh tứ giác ACKD là hình bình

a) Để chứng minh MO là đường trung bình của tam giác CAD, ta cần chỉ ra rằng MO song song với AD (hoặc AC) và MO = 1/2 * AD.

1. Gọi A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3), D(x4, y4) là các đỉnh của hình bình hành ABCD.
2. Tọa độ trung điểm M của đoạn CD sẽ được tính bằng M = ((x3 + x4)/2, (y3 + y4)/2).
3. Giá trị O, giao điểm của hai đường chéo AC và BD, có tọa độ là O = ((x1 + x3)/2, (y1 + y3)/2) = ((x2 + x4)/2, (y2 + y4)/2).
4. Để chứng minh MO là đường trung bình, ta cần cho điều kiện MO song song với AD. Vì M là trung điểm của CD, nên MO sẽ có hướng ngược với đoạn AD. Do hình bình hành, AD // BC, vì vậy quan hệ của các vectơ này là tương đồng.
5. Tính chiều dài MO:
- MO = M - O = ((x3 + x4)/2 - (x1 + x3)/2, (y3 + y4)/2 - (y1 + y3)/2) = ((x4 - x1)/2, (y4 - y1)/2).
- AD = D - A = (x4 - x1, y4 - y1).
6. Do đó, MO = 1/2 * AD, ta kết luận rằng MO là đường trung bình của tam giác CAD.

b) Để chứng minh tứ giác ACKD là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song.

1. Từ câu a), ta đã kết luận MO // AD. Vì MO = 1/2 * AD.
2. Bây giờ, xét các cạnh còn lại của tứ giác ACKD. Để chứng minh ACKD là hình bình hành, chúng ta xét cặp cạnh AK và CD.
3. Từ tính chất của hình bình hành, tứ giác ABCD có 2 cạnh đối diện song song và bằng nhau (AD // BC và AD = BC).
4. Tính chiều dài AK:
- K là giao điểm của AM và BC, nên có thể coi AK và CD là hai đoạn vuông góc với hai đoạn còn lại. Do đó, AK = 1/2 * AC (bởi K là giao điểm của AM với BC).
5. Vậy AK // CD (do BC // AD) và AK = CD.
6. Kết luận các cặp cạnh trong tứ giác ACKD đều bằng nhau và song song, ta có ACKD là hình bình hành.