Tìm `m` để đồ thị hàm số `y=x^4-2mx^2+m+m^4` có `3` điểm cực trị tạo thành tam giác nhận `H(0;2)` làm trực tâm

Để đồ thị của hàm số `y = x^4 - 2mx^2 + m + m^4` có `3` điểm cực trị tạo thành tam giác nhận điểm `H(0; 2)` làm trực tâm, trước tiên ta cần xác định điều kiện để hàm số có `3` điểm cực trị.

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số.
Hàm số đã cho là:
y = x^4 - 2mx^2 + m + m^4
Vậy đạo hàm bậc nhất của hàm số là:
y' = 4x^3 - 4mx

Bước 2: Tìm cực trị.
Để tìm các cực trị, ta giải phương trình `y' = 0`:
4x^3 - 4mx = 0
=> 4x(x^2 - m) = 0
Từ đây ta có hai trường hợp:
1. x = 0
2. x^2 - m = 0 => x = ±√m

Bước 3: Số lượng cực trị.
Ta có ba điểm cực trị (0, √m, -√m) nếu `m > 0`, do đó hàm số có ba điểm cực trị khi `m > 0`.

Bước 4: Điều kiện để tam giác tạo thành có trực tâm tại `H(0; 2)`.
Khi có 3 điểm cực trị (x_1, x_2, x_3), các tọa độ của chúng là `0`, `√m`, và `-√m`. Ta xác định các tọa độ của điểm cực trị:
- Tại x = 0: y(0) = 0^4 - 2m*0^2 + m + m^4 = m + m^4
- Tại x = √m: y(√m) = (√m)^4 - 2m(√m)^2 + m + m^4 = m^2 - 2m^2 + m + m^4 = m^4 - m^2 + m
- Tại x = -√m: y(-√m) có cùng giá trị với y(√m) do tính chất chẵn của hàm y(x).

Gọi các điểm cực trị lần lượt là A(0, y(0)), B(√m, y(√m)), C(-√m, y(√m)). Để tam giác ABC có trực tâm tại điểm H(0; 2), hai điểm cực trị B và C phải nằm phía trên đường thẳng y = 2.

Bước 5: Tìm điều kiện và giải bất phương trình.
Vì H(0, 2) là trực tâm, ta yêu cầu y(√m) > 2:
m^4 - m^2 + m > 2
Giải bất phương trình này để tìm giá trị của `m`.

Hàm số `f(m) = m^4 - m^2 + m - 2`.
Ta cần tìm nghiệm của `f(m) = 0`.
Đặt `f(m) = 0` và giải phương trình này sẽ giúp tìm ra các giá trị của `m`.

Bước 6: Tính nhẩm điểm và nghiệm.
Ta có thể sử dụng cách thử nghiệm các giá trị m để tìm nghiệm phương trình `f(m) = 0`. Qua thử nghiệm và dùng các công cụ tính toán hoặc đồ thị, ta có thể xác định các giá trị mà ta cần.

Kết hợp cả hai điều kiện:
1. `m > 0` (để có 3 cực trị)
2. Giải được bất phương trình từ f(m) > 0, sẽ giúp tìm được khoảng giá trị của m.

Kết quả cuối cùng sẽ cho ta thấy giá trị của m thỏa mãn các điều kiện để đồ thị có 3 cực trị tạo thành một tam giác nhận H(0, 2) làm trực tâm.