Cho tam giác ABC vuông tại B Góc C bằng 60 dộ Kẻ đường cao BK Vẽ d là đường trung trực của AB cắt AB Tại N cắt AC tại M và cắt tia BK tại E a, Chứng minh tam giác ANM bằng tam giác BNM b, Chứng

a. Để chứng minh tam giác ANM bằng tam giác BNM, ta sẽ sử dụng các thuộc tính trong tam giác vuông và một số góc tương ứng.

- Trước tiên, do tam giác ABC vuông tại B, với góc C = 60 độ, nên góc A = 30 độ (tổng của ba góc trong tam giác bằng 180 độ).
- Từ điểm N thuộc trung trực của AB, ta có AN = NB (vì N là trung điểm của AB).
- Tiếp theo, do BK là đường cao từ B xuống cạnh AC nên góc BKA = 90 độ và góc BKC = 30 độ.
- Tại điểm M, ta có BM vuông góc với AC. Do vậy, trong tam giác BNM, góc BNM = góc ANM (vì M nằm trên AC và AN = NB).
- Cuối cùng, chúng ta có ANM = BNM (góc chung tại N, cạnh tương ứng AN = NB và cạnh BM = BN).

Do đó, ta kết luận rằng tam giác ANM tương đương với tam giác BNM.

b. Để chứng minh điểm E cách đều MB và BC:

- Theo định nghĩa, điểm cách đều hai điểm nếu khoảng cách từ điểm đó tới hai điểm đó bằng nhau.
- Xét tam giác BME, do E là giao điểm giữa BK và đường trung trực d của AB, nên qua E vẽ đường thẳng vuông góc với MB. Khi đó, ta có BE = ME (vì BK vuông góc với AB).
- Đồng thời, khoảng cách từ E đến MB cũng sẽ bằng khoảng cách từ E đến BC, vì cả hai đều là chiều cao từ B (vuông góc) và do tính chất của hình học trong tam giác vuông, cùng với vị trí của E trên đường trung trực.

Kết luận, E cách đều MB và BC.

c. Để chứng minh D, C, I thẳng hàng:

- Từ điểm E, ta có DE = 1/2 EB, có nghĩa là D nằm giữa E và B.
- Gọi I là trung điểm của ME, điều này có nghĩa là MI = IE.
- Khi đó, ta có thể tìm thấy tỉ lệ tương ứng trên đoạn EB.
- Do D nằm thuộc EB, và I là trung điểm của ME, nên điểm I sẽ chia đoạn DE thành hai đoạn bằng nhau, vì D cách E một khoảng mà I sẽ tạo ra hai đoạn thẳng từ M tới DE, tạo nên các tỉ lệ bằng nhau.

Bằng tính chất thẳng hàng của các điểm, ta chứng minh được D, C và I nằm trên một đường thẳng.